비율판정법,ratio_test

$\textstyle\sum a_n$ 을 어떤 급수,series라고 하자. 극한값
$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho$
이 존재할 때,
(a) $\rho<1$ 이면 급수는 절대수렴한다.
(b) $\rho>1$ 이거나 $\rho$ 가 무한이면 급수는 발산한다.
(c) $\rho=1$ 이면 급수는 수렴할 수도 발산할 수도 있다.
(Thomas 13e ko 8.5 p489 정리13)

Compare: 정리14 근판정법,root_test (상당히 유사)


Let $\textstyle\sum x_n$ be a positive 급수,series such that $x_n\ne 0$ for any $n\ge 1.$
다음을 가정한다.
$n\to\infty$ 일 때 $\frac{x_{n+1}}{x_n}\to L$
그러면 다음 중 하나가 성립.
from http://sosmath.com/calculus/series/rootratio/rootratio.html


$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=$
<1 conv.
>1 diver.
=1 (?) 이 때는 다른 test를 쓴다.


$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L<1\Rightarrow\sum a_n\textrm{ conv. }$ CHK
$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L>1\Rightarrow\sum a_n\textrm{ div. }$
$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L=1\Rightarrow\textrm{ TBW inconclusive? CHK }$


$a$ 가 중심인 멱급수,power_series:
$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$
Ratio test: (분자는 $n+1$ th term, 분모는 $n$ th term)
$\lim_{n\to\infty}\left| \frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n} \right| = |x-a|\lim_{n\to\infty}\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right| = L$

  1. If $L<1,$ the power series converges.
  2. If $L>1,$ the power series diverges.
  3. If $L=1,$ the test is inconclusive.

(KU안춘기 Chapter5-A)


정리 2.5: 비율 검사

급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 에 대해 $r=\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ 이라고 하면, 다음 세 경우로 분류된다.
i) $r<1$ 이면 급수는 수렴한다.
ii) $r>1$ 이면 급수는 발산한다.
iii) $r=1$ 이면 $r=1-\frac{r_1}{n}$ 이라고 할 때 역시 다음과 같은 세 경우로 분류된다.
가) $r_1>1$ 이면 급수는 수렴한다.
나) $r_1<1$ 이면 급수는 발산한다.
다) $r_1=1$ 이면 판정할 수 없다.

조화급수,harmonic_series의 경우는 위의 정리 iii) 다) 에 해당하는 경우이며, 비율 검사에 의해서는 수렴을 판정할 수 없음을 알 수 있다.

보다 일반적으로 다음과 같은 리만의 제타 함수(zeta function) 또는 p-급수의 수렴에 대해 생각해 보자. p-급수는 다음과 같이 쓸 수 있는데,
$\zeta(p)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}$
여기에 비율 검사를 적용하기 위해 다음을 고려하면,
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^p}{(n+1)^p} = \left( 1+ \frac1n \right)^{-p} = 1-\frac{p}{n} + \cdots \sim 1-\frac{p}{n}$
이 경우는 위의 정리 iii)에 해당하여, $p>1$ 이면 수렴하고, $p<1$ 이면 발산하며, $p=1$ 인 경우는 위의 검사에 의해서는 결과를 알 수 없으나, $p=1$ 이면 조화 급수이므로 발산한다.

(이승준 p24-25)


Etc. L=1인 경우 쓸 수 있는 좀더 정교한 판정법들: Raabe, Bertrand, Kummer
https://jjycjnmath.tistory.com/475




AKA 비판정법, d'Alembert's ratio test, Cauchy ratio test