$\textstyle\sum a_n$ 을 어떤 [[급수,series]]라고 하자. 극한값 $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho$ 이 존재할 때, (a) $\rho<1$ 이면 급수는 [[절대수렴,absolute_convergence|절대수렴]]한다. (b) $\rho>1$ 이거나 $\rho$ 가 무한이면 급수는 발산한다. (c) $\rho=1$ 이면 급수는 수렴할 수도 발산할 수도 있다. (Thomas 13e ko 8.5 p489 정리13) Compare: 정리14 [[근판정법,root_test]] (상당히 유사) ---- Let $\textstyle\sum x_n$ be a positive [[급수,series]] such that $x_n\ne 0$ for any $n\ge 1.$ 다음을 가정한다. $n\to\infty$ 일 때 $\frac{x_{n+1}}{x_n}\to L$ 그러면 다음 중 하나가 성립. * $L<1$ 이면 급수 $\textstyle\sum x_n$ 은 [[수렴,convergence]]한다. * $L>1$ 이면 급수 $\textstyle\sum x_n$ 은 [[발산,divergence]]한다. * $L=1$ 이면 급수 $\textstyle\sum x_n$ 은 수렴 또는 발산한다. (알 수 없다) from http://sosmath.com/calculus/series/rootratio/rootratio.html ---- $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=$ ＜1 conv. ＞1 diver. ＝1 (?) 이 때는 다른 test를 쓴다. ---- $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L<1\Rightarrow\sum a_n\textrm{ conv. }$ CHK $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L>1\Rightarrow\sum a_n\textrm{ div. }$ $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L=1\Rightarrow\textrm{ TBW inconclusive? CHK }$ ---- $a$ 가 중심인 [[멱급수,power_series]]: $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$ '''Ratio test:''' (분자는 $n+1$ th term, 분모는 $n$ th term) $\lim_{n\to\infty}\left| \frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n} \right| = |x-a|\lim_{n\to\infty}\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right| = L$ 1. If $L<1,$ the power series [[수렴,convergence|converges]]. 1. If $L>1,$ the power series [[발산,divergence|diverges]]. 1. If $L=1,$ the test is inconclusive. (KU안춘기 Chapter5-A) ---- 정리 2.5: '''비율 검사''' 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 에 대해 $r=\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ 이라고 하면, 다음 세 경우로 분류된다. i) $r<1$ 이면 급수는 수렴한다. ii) $r>1$ 이면 급수는 발산한다. iii) $r=1$ 이면 $r=1-\frac{r_1}{n}$ 이라고 할 때 역시 다음과 같은 세 경우로 분류된다. 가) $r_1>1$ 이면 급수는 수렴한다. 나) $r_1<1$ 이면 급수는 발산한다. 다) $r_1=1$ 이면 판정할 수 없다. [[조화급수,harmonic_series]]의 경우는 위의 정리 iii) 다) 에 해당하는 경우이며, '''비율 검사'''에 의해서는 수렴을 판정할 수 없음을 알 수 있다. 보다 일반적으로 다음과 같은 [[리만_제타함수,Riemann_zeta_function|리만의 제타 함수(zeta function)]] 또는 [[p급수,p-series|p-급수]]의 수렴에 대해 생각해 보자. p-급수는 다음과 같이 쓸 수 있는데, $\zeta(p)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}$ 여기에 '''비율 검사'''를 적용하기 위해 다음을 고려하면, $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^p}{(n+1)^p} = \left( 1+ \frac1n \right)^{-p} = 1-\frac{p}{n} + \cdots \sim 1-\frac{p}{n}$ 이 경우는 위의 정리 iii)에 해당하여, $p>1$ 이면 수렴하고, $p<1$ 이면 발산하며, $p=1$ 인 경우는 위의 검사에 의해서는 결과를 알 수 없으나, $p=1$ 이면 조화 급수이므로 발산한다. (이승준 p24-25) ---- Etc. L=1인 경우 쓸 수 있는 좀더 정교한 판정법들: Raabe, Bertrand, Kummer https://jjycjnmath.tistory.com/475 ---- AKA '''비판정법, d'Alembert's ratio test, Cauchy ratio test''' Related: [[비,ratio]], [[비율,rate]] Twins: https://mathworld.wolfram.com/RatioTest.html [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405127&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 비율판정법]] https://everything2.com/title/ratio+test [[WpKo:비판정법]] [[WpEn:Ratio_test]] [[Libre:비율판정법]] ---- Up: [[수렴판정법,convergence_test]]