[[벡터,vector]]

보통 빛을 쏴서 생긴 그림자에 비유.

표기 (다음 네 줄은 같음. due to https://wikidocs.net/74698 CHK)
 proj,,x,,y
 x 위로의 y의 정사영
 y의 x 위로의 정사영
 projection of y onto x

[[각,angle]] 특히 교각(angle of intersection) 관련.
[[거리,distance]]의 계산과 관련.

사영을 하는 대상:
[[벡터,vector]]
[[선분,line_segment]]
모든 figures, shapes,
[[점,point]] - ex. (3D공간에서) 점 (a,b,c)에서 xy평면에 수선을 내리면 ‘xy평면으로 P의 '''사영'''’은 좌표가 (a,b,0)인 점.
...
사영하여 그림자가 그 위에 만들어지는(?) 대상:
[[축,axis]]위로,
[[직선,line]] 위로,
[[평면,plane]] 위로,
등등

projection matrix: ~~[[Class_2020_2]]~~ [[공학수학2_선형대수]]에서 검색
[[,projection_matrix]] - 작성중

mklink
[[사영공간,projective_space]] - sub? 작성중
[[사영평면,projective_plane]] - 작성중
 [[실사영평면,real_projective_plane]]
[[내적,inner_product]]
[[스칼라곱,scalar_product,dot_product]]

<<tableofcontents>>

= 벡터사영 vector projection =
[[벡터사영,vector_projection]]
표기: $\operatorname{proj}_{v}\vec{u}$ = $\vec{u}$ 의 $\vec{v}$ 위로의 벡터사영
벡터 $\vec{u}$ 가 [[힘,force]]이라면 proj,,v,,'''u'''는 '''v'''방향으로의 유효 힘을 나타낸다. (Thomas)

WpEn:Vector_projection

= 스칼라사영 scalar projection =
[[스칼라사영,scalar_projection]]

The '''scalar projection''' of $\vec{b}$ onto $\vec{a}$
AKA the component of $\vec{b}$ along $\vec{a}$

기호: $\text{comp}_{\vec{a}}\vec{b}$

정의:
The signed magnitude of the vector projection $|\vec{b}|\cos\theta$
$\theta$ 는 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 사이 [[각,angle]]
$\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$ 일 때 음이다.

식
 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta = |\vec{a}| ( |\vec{b}| \cos\theta )$
에서, $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 의 내적을
 (a의 길이) × (b에서 a 위로의 '''스칼라사영''')
으로 해석할 수 있음을 볼 수 있다.
다음 식에서
 $|\vec{b}|\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\cdot\vec{b}$
이므로, $\vec{a}$ 방향의 단위벡터와 $\vec{b}$ 의 내적으로 계산할 수 있다.

(Stewart)

= 스칼라사영과 벡터사영 =
Scalar projection of $\vec{b}$ onto $\vec{a}:$
 $\operatorname{comp}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}$

Vector projection of $\vec{b}$ onto $\vec{a}:$
 $\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b}=\left( \frac{ \vec{a}\cdot\vec{b} }{ |\vec{a}| } \right) \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} \vec{a}$

보다시피, 벡터사영은 스칼라사영 곱하기 $\vec{a}$ 방향으로의 [[단위벡터,unit_vector]]와 같다.

= 정사영 =
'정'의 뜻이, 사영 중에서 '수직 orthogonal perpendicular 한 특별한 경우' 맞음? AKA '''직교사영, 수직사영?'''

Sub:
 [[정사영,orthogonal_projection]]


$\mathbb{R}^3$ 의 벡터 $\vec{x}(\ne\vec{0}),\,\vec{y}$ 에 대해 다음이 성립한다.
 $\operatorname{proj}_{\vec{x}}\vec{y}=t\vec{x}$
where
 $t=\frac{\vec{y}\cdot\vec{x}}{\vec{x}\cdot\vec{x}}=\frac{\vec{y}\cdot\vec{x}}{||\vec{x}||^2}$
x를 축으로 보고 그 위로 y벡터를 내린 것? CHK
(BigBook)

Bmks ko
https://soohee410.github.io/orthogonal_projection (Src: Lay)

밀접, 비교: [[성분,component]](esp. 한 벡터에서 다른 벡터의 성분)

= 입체사영 stereographic projection =
[[입체사영,stereographic_projection]]
{
극사영과 동의어?  완전? chk
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125178&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 극사영]]

mklink
[[위상동형사상,homeomorphism]]
"입체사영이 위상동형사상임"[* https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125393&cid=60207&categoryId=60207]

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125420&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 입체사영]]
https://mathworld.wolfram.com/StereographicProjection.html

Up: [[사영,projection]]
}

= Misc =
벡터 및 선형대수 관련 문서를 읽다 보면 "정사영(projection)"이라는 표현이 엄청 자주 보이는데, 이것은 영단어 하나를 생략해 간단히 표시한 것이다. (엄밀히 말하면 틀렸다고 볼 수도 있고, 사영의 의미 중에서 다른 사영은 무시하고 임시로 정사영으로만 의미를 한정했다고 볼 수도 있다.) 명확하게 표현하면 둘은 각각,
 사영 = projection
 정사영 = orthogonal projection (= 직교사영)
이다.

사영보다 마이너하지만 '투영' 표현도 쓰임.

mklink
원근법 perspective ... Ndict:perspective Ndict:원근법 WtEn:perspective KmsE:perspective

영단어 projection은 [[심리학,psychology]]쪽에선 '투사'. [[투사,projection]]

[[Date(2023-11-05T12:10:00)]]
projection의 번역으로 '투상'이라는 표현도 보임, 혹시 상은 image? 한자 chk. / Ndict:투상 Ggl:투상 https://ko.wikipedia.org/wiki/투상 ... via https://jebae.github.io/z-buffer

= bmks ko =
https://m.blog.naver.com/spin898/221141425499 - 선형대수적 서술

= CLEANUP =
[[WpEn:Projection_(linear_algebra)]] = https://en.wikipedia.org/wiki/Projection_(linear_algebra) ... 선대
[[WpSp:Projection]] = https://simple.wikipedia.org/wiki/Projection

= MKL idempotence / idempotency =
projection operation is idempotent ... 한번 하든 두번 하든 같으므로.... $P^2=P$ .... 항상? chk.
see also https://planetmath.org/idempotency 

----
Twins:
https://everything2.com/title/Projection
https://ratsgo.github.io/linear%20algebra/2017/10/20/projection/
https://planetmath.org/idempotency ([[벡터공간,vector_space]]의 '''사영'''. 마지막 문장. - [[idempotency]] 설명에서)
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Projection

[[Date(2023-12-17T11:18:16)]]
뜻이 다양한데 [[투영,projection]]페이지를 나누는 방법도 있을 듯
[[WpSp:Projection]] = https://simple.wikipedia.org/wiki/Projection

Up:
 [[기하학,geometry]] See that page. 저기에 관련 내용 있는데 합칠 예정. TOMERGE
  esp. [[사영기하,projective_geometry]]
 [[벡터,vector]]의 주제임
 [[선형변환,linear_transformation]]? chk
 [[연산,operation]] / [[연산자,operator]] ? chk