삼각함수,trigonometric_function




호도법,라디안,radian 관련... (i.e. 각,angle의 단위,unit와.)
삼각방정식,trigonometric_equation - 방정식,equation#s-15
Rel. trigonometric_identity { trigonometric identity 삼각항등식? WtEn:trigonometric_identity - 항등식,identity ... 현재 아래 삼각함수,trigonometric_function#s-3 }


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1. 복소수와의 관계


이렇게 삼각함수를 복소함수,complex_function로 생각할 수 있다.

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2. 지수함수와의 관계

사인과 코사인은, 지수함수,exponential_function와 다음 오일러_공식,Euler_formula으로 연결됨.
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
$x$ 의 부호,sign를 반대로 하면,
$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$
위 두 식을 연립방정식으로 하고 풀면, 위의 복소수와의 관계가 나옴.

실수 $x$ 에 대해
$\cos x = \operatorname{Re}\left(e^{i x}\right)$
$\sin x = \operatorname{Im}\left(e^{i x}\right)$
이것은 오일러 공식에서 실수부와 허수부가 무엇인지를 생각하면 도출.


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3. ? 아무튼 some trigonometric identities


$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$
$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$
$\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x$

$\sin(-\theta)=-\sin\theta$
$\cos(-\theta)=\cos\theta$
$\tan(-\theta)=-\tan\theta$

$\sin\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\cos\theta$
$\cos\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\sin\theta$
$\tan\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\cot\theta$

$\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin(x)$ 이다.
cos(x)을 오른쪽으로 90 ° 밀어버리면 sin(x)와 겹쳐진다.
phase_shift 관련.

사인과 코사인은,
  • 주기,period $2\pi$
  • 주기 내의 자기 유사성(self-similarity)
    $\sin(\pi-x)=\sin(x)$
    $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$
  • 사인과 코사인은 서로 $\frac{\pi}{2}$ 만큼 이동한 형태
    $\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
    $\sin(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$

Src: Ivan Savov p119

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4. 덧셈정리: 각을 더하여 삼각함수에

$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$
$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$
$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp \tan a\tan b}$

i.e.

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
$\tan(a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}$
$\tan(a-b)=\frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b}$


삼각함수의 덧셈정리 - 나무위키
https://namu.wiki/w/삼각함수의 덧셈정리


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5. 배각공식 double angle formula

$\sin(2x)=2\sin x\cos x$
$\cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x$
$=2\cos^2 x-1$
$=1-2\sin^2 x$
$\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$

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5.1. 드무아브르 공식에서 배각공식을 유도하기

드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula
$\cos n\theta+i\sin n\theta=(\cos\theta+i\sin\theta)^n$
에서 $n=2$ 로 두면
$\cos 2\theta + i\sin 2\theta$
$=(\cos\theta+i\sin\theta)^2$
$=(cos^2\theta-\sin^2\theta)+i2\sin\theta\cos\theta$
실수부와 허수부를 각각 같게 두면
$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$
$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
즉 배각공식을 얻는다.

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6. 3배각공식


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7. 반각공식 power-reduction formula, half-angle formula

배각공식의 cos(2x)=… 에서 유도

$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$
$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}$

i.e.

$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$
$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$

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8. 합차공식

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8.1. 곱 → 합·차

사인함수의 덧셈정리
$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$
두 식을 합하면
$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$
따라서
$\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left(\sin(a+b)+\sin(a-b)\right)$

네 가지 경우를 모두 구하면,
https://i.imgur.com/LBu7j7v.png


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8.2. 합·차 → 곱

곱 → 합·차 공식에서
$a+b=A,\; a-b=B$
로 놓으면
$a=\frac{A+B}{2},\; b=\frac{A-B}{2}$
이것을 곱 → 합·차 공식에 대입하면
$\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin B\right)$
따라서
$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

네 가지 경우를 모두 구하면,
https://i.imgur.com/pfEECi7.png





....


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9. 주기,period가 있음

sin cos는 2pi
tan은 pi

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10. 삼각방정식의 일반해

식 특수해가 a라고 가정하면, 일반해 x는
$y=\sin x$ $x=n\pi+(-1)^n a$
$y=\cos x$ $x=2n\pi\pm a$
$y=\tan x$ $x=n\pi+a$
why? CHK

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11. 삼각함수의 주기, 정의역과 치역 표

함수 주기,period 정의역,domain 치역,range
sin $2\pi$ $\mathbb{R}$ $[-1,1]$
cos $2\pi$ $\mathbb{R}$ $[-1,1]$
tan $\pi$ $x\ne\pm\frac{(2n+1)\pi}2$
$x\ne n\pi+\frac{\pi}2$
$x\ne\cdots,-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2,\frac{5\pi}2,\cdots$ 		$\mathbb{R}$
csc $2\pi$ $x\ne0,\pm\pi,\pm2\pi,\cdots$
$x\ne\cdots,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\cdots$
sin이 영이 되는 점을 제외 		$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$
sec $2\pi$ $x\ne\pm\frac{\pi}2,\pm\frac{3\pi}2,\cdots$
$x\ne\cdots,-\frac32\pi,-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2,\frac32\pi,\cdots$
cos가 영이 되는 점을 제외 		$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$
cot $\pi$ $x\ne0,\pm\pi,\pm2\pi,\cdots$
$x\ne\cdots-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\cdots$
csc와 같음 		$\mathbb{R}$
CHK
  • 모든 삼각함수는 $2\pi$ 의 주기를 가지며 최소주기를 따지면 tan, cot는 $\pi$