Sister: '''[[삼각법,trigonometry]]'''

Sub:
 [[삼각함수_미분표]]
 [[삼각함수_적분표]]
 삼각함수의 합성: [[삼각함수_합성,harmonic_addition]]

[[역삼각함수,inverse_trigonometric_function]]의 역함수

[[원,circle]] > [[단위원,unit_circle]] 의 x, y [[좌표,coordinate]]와 cos, sin이 밀접한 관련...
sin은 [[벡터곱,vector_product,cross_product]] or [[외적,outer_product]]와 관련
cos은 [[스칼라곱,scalar_product,dot_product]] or [[내적,inner_product]], [[코사인법칙,cosines_law]], [[코사인유사도,cosine_similarity]]와 관련

호도법,라디안,radian 관련... (i.e. [[각,angle]]의 [[단위,unit]]와.)
[[삼각방정식,trigonometric_equation]] - [[방정식,equation#s-15]]
Rel. [[trigonometric_identity]] { trigonometric identity 삼각항등식? [[WtEn:trigonometric_identity]] - [[항등식,identity]] ... 현재 아래 [[삼각함수,trigonometric_function#s-3]] }

[[TableOfContents]]

= 복소수와의 관계 =
$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
[[복소수,complex_number]]

이렇게 '''삼각함수'''를 [[복소함수,complex_function]]로 생각할 수 있다.

= 지수함수와의 관계 =
사인과 코사인은, [[지수함수,exponential_function]]와 다음 [[오일러_공식,Euler_formula]]으로 연결됨.
 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$
$x$ 의 [[부호,sign]]를 반대로 하면,
 $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$
위 두 식을 연립방정식으로 하고 풀면, 위의 복소수와의 관계가 나옴.

실수 $x$ 에 대해
 $\cos x = \operatorname{Re}\left(e^{i x}\right)$
 $\sin x = \operatorname{Im}\left(e^{i x}\right)$
이것은 오일러 공식에서 실수부와 허수부가 무엇인지를 생각하면 도출.


= ? 아무튼 some trigonometric identities =
Ggl:"trigonometric identities"
page [[삼각항등식,trigonometric_identity]]?
$\sin\theta=\cos\left(\frac{\pi}2-\theta\right)$
$\cos\theta=\sin\left(\frac{\pi}2-\theta\right)$
$\cot\theta=\tan\left(\frac{\pi}2-\theta\right)$

$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$
$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$
$\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x$

----
$\sin(-\theta)=-\sin\theta$
$\cos(-\theta)=\cos\theta$
$\tan(-\theta)=-\tan\theta$

$\sin\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\cos\theta$
$\cos\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\sin\theta$
$\tan\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\mp\cot\theta$

----
$\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin(x)$ 이다.
cos(x)을 오른쪽으로 90 ° 밀어버리면 sin(x)와 겹쳐진다.
phase_shift 관련.

----
사인과 코사인은,
 * [[주기,period]] $2\pi$
 * 주기 내의 자기 유사성(self-similarity)
  $\sin(\pi-x)=\sin(x)$
  $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$
 * 사인과 코사인은 서로 $\frac{\pi}{2}$ 만큼 이동한 형태
  $\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
  $\sin(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$

Src: Ivan Savov p119

= 덧셈정리: 각을 더하여 삼각함수에 =
$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$
$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$
$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp \tan a\tan b}$

i.e.

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
$\tan(a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}$
$\tan(a-b)=\frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b}$


삼각함수의 덧셈정리 - 나무위키
https://namu.wiki/w/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98%20%EB%8D%A7%EC%85%88%EC%A0%95%EB%A6%AC


= 배각공식 double angle formula =
$\sin(2x)=2\sin x\cos x$
$\cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x$
 $=2\cos^2 x-1$
 $=1-2\sin^2 x$
$\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$

== 드무아브르 공식에서 배각공식을 유도하기 ==
[[드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula]]
 $\cos n\theta+i\sin n\theta=(\cos\theta+i\sin\theta)^n$
에서 $n=2$ 로 두면
 $\cos 2\theta + i\sin 2\theta$
  $=(\cos\theta+i\sin\theta)^2$
  $=(cos^2\theta-\sin^2\theta)+i2\sin\theta\cos\theta$
실수부와 허수부를 각각 같게 두면
 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$
 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
즉 배각공식을 얻는다.

= 3배각공식 =

= 반각공식 power-reduction formula, half-angle formula =
## half-angle formulas (Stewart 9e 맨앞 가위로 잘라내는 reference page에 있는 표현)
배각공식의 cos(2x)=… 에서 유도

$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$
$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}$

i.e.

$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$
$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$

= 합차공식 =
== 곱 → 합·차 ==
사인함수의 덧셈정리
 $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
 $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$
두 식을 합하면
 $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$
따라서
 $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left(\sin(a+b)+\sin(a-b)\right)$

네 가지 경우를 모두 구하면,
https://i.imgur.com/LBu7j7v.png

== 합·차 → 곱 ==
곱 → 합·차 공식에서
 $a+b=A,\; a-b=B$
로 놓으면
 $a=\frac{A+B}{2},\; b=\frac{A-B}{2}$
이것을 곱 → 합·차 공식에 대입하면
 $\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin B\right)$
따라서
 $\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

네 가지 경우를 모두 구하면,
https://i.imgur.com/pfEECi7.png


https://ghebook.blogspot.kr/2011/01/sum-and-difference-identities.html


....

http://www.minzkn.com/moniwiki/wiki.php/TrigonometricalFunction

= [[주기,period]]가 있음 =
sin cos는 2pi
tan은 pi

= 삼각방정식의 일반해 =
||식 ||특수해가 a라고 가정하면, 일반해 x는||
||$y=\sin x$ ||$x=n\pi+(-1)^n a$ ||
||$y=\cos x$ ||$x=2n\pi\pm a$ ||
||$y=\tan x$ ||$x=n\pi+a$ ||
why? CHK

= 삼각함수의 주기, 정의역과 치역 표 =
||함수 ||[[주기,period]] ||[[정의역,domain]] ||[[치역,range]]  ||
||sin  ||$2\pi$ ||$\mathbb{R}$      ||$[-1,1]$ ||
||cos  ||$2\pi$ ||$\mathbb{R}$      ||$[-1,1]$ ||
||tan  ||$\pi$  ||$x\ne\pm\frac{(2n+1)\pi}2$ [[br]] $x\ne n\pi+\frac{\pi}2$ [[br]] $x\ne\cdots,-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2,\frac{5\pi}2,\cdots$ ||$\mathbb{R}$ ||
||csc  ||$2\pi$ ||$x\ne0,\pm\pi,\pm2\pi,\cdots$ [[br]] $x\ne\cdots,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\cdots$ [[br]] sin이 영이 되는 점을 제외 ||$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ||
||sec  ||$2\pi$ ||$x\ne\pm\frac{\pi}2,\pm\frac{3\pi}2,\cdots$ [[br]] $x\ne\cdots,-\frac32\pi,-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2,\frac32\pi,\cdots$ [[br]] cos가 영이 되는 점을 제외 ||$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ||
||cot  ||$\pi$  ||$x\ne0,\pm\pi,\pm2\pi,\cdots$ [[br]] $x\ne\cdots-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\cdots$ [[br]] csc와 같음 ||$\mathbb{R}$ ||
CHK
 * 모든 삼각함수는 $2\pi$ 의 주기를 가지며 최소주기를 따지면 tan, cot는 $\pi$

-------
Compare:
 [[쌍곡선함수,hyperbolic_function]]

작성시 [[mimeTeX_삼각함수와_쌍곡선함수_지원여부]] 참조.

Twins:
 [[Libre:삼각함수]]
 [[Namu:삼각함수]]
 [[WpSimple:Trigonometric_function]]
 [[WpKo:삼각함수]]
 [[WpEn:Trigonometric_functions]]
 [[https://wiki.mathnt.net/index.php?title=삼각함수 수학노트: 삼각함수]]

Up:
 [[함수,function]] > [[주기함수,periodic_function]]