기호
 $r,\;r_{x,y}$
 Corr(X, Y)
 $\rho_{X,Y}$

[[상관,correlation]]의 정도가 얼마인지 정량적으로 값을 매긴/분석한 것.

[[변량,variate]]이 두 개가 있을 때, 두 변량 사이 상관관계가([[상관,correlation]]이) 어느 정도인지를 나타내는 수치(계수).
''//QQQ 이름이 상관수 상관치 상관수치 상관값 ... 이 아닌 상관[[계수,coefficient]]인 이유?''

[[단위,unit]]와 관련없는 --축도?--(분명 [[측도,measure]])를 얻기 위해, 두 확률변수 X, Y가 있을 때, X, Y의 [[공분산,covariance]]을, X, Y의 [[표준편차,standard_deviation]]의 곱으로 나누어 준 값을 '''X, Y의 상관계수'''라 한다.
 $r=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i-\bar{y})^2}}$
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3393642&cid=60289&categoryId=60289 물백과사전]]
''//QQQ 그럼 dimensionless?''

'''x, y의 상관계수''': x, y의 공분산을 (x의 표준편차와 y의 표준편차의 곱)으로 나눈 것.[* https://terms.naver.com/entry.naver?docId=2293385&cid=60227&categoryId=60227 화학대사전]

분석 대상은 사전에 따라 변인(variable), 확률변수(random variable) 등. 개수는 반드시 2개.

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// 데과기 Week 9-1 p8
// [[공분산,covariance]]에 이어서 언급됨.

'''상관계수'''란, [[공분산,covariance]]을 [[분산,variance]]으로 scale한 것. ('''Covariance''' scaled by variance)
값은 -1에서 1 사이. (Strictly between -1 and 1)
식은
 $\rho_{X,Y}=\frac{\text{Cov}[X,Y]}{\sqrt{\text{Var}[X]\text{Var}[Y]}}$

https://i.imgur.com/9h05gA8l.png

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<<TableOfContents>>

= tmp from https://umbum.dev/1006 =
$r_{XY}=\frac{\sum_{i}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i}^{n}(X_i-\bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i}^{n}(Y_i-\bar{Y})^2}}$

X, Y는 vector.
 * 각 vector의 [[표본평균,sample_mean]]을 구해서, 0이 아닌(??) 각 원소에서 빼주어 [[정규화,normalization]]하고,
 * normalized vectors 사이의 [[코사인유사도,cosine_similarity]](curr see [[유사도,similarity]])를 계산한 것.

= tmp 내적과의 유사성 =
https://angeloyeo.github.io/2019/08/20/correlation_and_inner_product.html 에 의하면
[[내적,inner_product]]
[[스칼라곱,scalar_product,dot_product]]과 유사

= tmp CLEANUP =
.......TBW S는무엇인지
 $=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i-\bar{x}}{S_x}\right)\left(\frac{y_i-\bar{y}}{S_y}\right)$
 $=\frac1{S_xS_y}............$

CHK
{
$\operatorname{Corr}(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}$
}

tmp from https://throwexception.tistory.com/1037
{
피어슨의 상관계수
 [[공분산,covariance]]을 두 변수의 [[표준편차,standard_deviation]]로 표준화 시킨 값.
 공분산 : Cov(x, y) = E(xy) - E(x)E(y)
 상관계수 : Corr(x, y) = Cov(x, y)/(std(x) * std(y))
 -1에서 1사이의 값을 가지며, |corr|이 1에 가까울수록 강한 선형 관계를 가짐.
}
= 값, 값의 분석 =
항상 다음 부등식을 만족.
 $-1\le r\le 1$
여기서 양 극단의
 +1은
 −1은
 그리고 0은 선형 상관 관계가 없음을 뜻함.

||[[상관,correlation]] ||'''상관계수,correlation_coefficient'''||
||양의 상관관계 ||$r>0$ ||
||음의 상관관계 ||$r<0$ ||
||무상관        ||$r=0$ ||
||가장 센 잠재적 일치(?) ||$\pm1$ ||
||가장 센 불일치         ||$0$    ||
||완전한 비례관계        ||$+1$ ||
||완전한 반비례관계      ||$-1$ ||
||관계없음               ||$0$  ||
[* 위 세 줄 두산백과 https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1109629&cid=40942&categoryId=32204] [* 그 아래 두 줄 ±1, 0은 [[WpKo:상관계수]]에서] [* 그 아래 세 줄은 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3462150&cid=60408&categoryId=58529 이우주의학사전]]에서]
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 * 항상 -1과 +1사이
 * 0이면 두 변수가 무관하다는 뜻
 * 모두 양의 기울기의 직선 위에 있으면, 1
 * 모두 음의 기울기의 직선 위에 있으면, -1

 * -1에 매우 가까우면, 강한 음의 상관관계
 * +1에 매우 가까우면, 강한 양의 상관관계
 * 0에 매우 가까우면, 상관관계가 거의 없음

= tmp tomove =
from [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=779102&cid=42085&categoryId=42085 경제학사전]]
{
* 두 변량 사이 상관관계가 원인관계를(X, Y 중 하나가 다른 하나의 원인이나 설명요인임을) 뜻하는 것은 아니다.
* 이런 분석을 [[상관분석,correlation_analysis]](curr see [[상관,correlation]])이라 한다.
'''상관계수 σ,,xy,,'''의 수학적 정의는 // rho 아닌지???
 $\rho_{xy}=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$
(단 σ,,x,,>0, σ,,y,,>0) 여기서,
 $\sigma_x$ : 변량 X의 [[표준편차,standard_deviation]]
 $\sigma_y$ : 변량 Y의 [[표준편차,standard_deviation]]
 $\sigma_{xy}$ : 두 변량 X, Y의 [[공분산,covariance]]

// (공분산 $\sigma_{xy}$ 설명)
한편 [[공분산,covariance]]은 $X,Y$ 가 $f(x,y)$ 라는 동시분포([[결합확률분포,joint_probability_distribution|joint distribution]])에 따를 때, 각 변량 $(X,Y)$ 에서 그 [[평균,mean,average|평균치]] $(\mu_x,\mu_y)$ 를 뺀 곱의 [[기대값,expected_value|기대치]]로 정의된다. 즉
 $\sigma_{xy}\equiv\mathrm{E}[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]$
 $\equiv \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu_y)(y-\mu_x) f(x,y) dx dy$
이 때 $\sigma_{xy}$ 가
 * 양이면 두 변량 X, Y의 변화는 대체로 같은 방향성을 가지며,
 * 음이면 반대의 방향성을 갖는다.

// (상관계수 $\rho_{xy}$ 의 성질)
 i. (이게 무슨 기호?????)
 i. $-1 \le \rho_{xy} \le 1$ 
 i. $\rho_{xy}=0$ 이면 X, Y 사이에는 상관관계가 전혀 없다.
 i. $\rho_{xy}=\pm 1$ 이면 X, Y에는 완전한 양/음의 상관관계, 즉 선형관계(linear relationship)가 있다. (''See [[선형성,linearity]]'')

(이하생략)
}

= 공분산과.... 의 관계 서술 정확히. =
TBW: 공분산과의 비교.

[[공분산,covariance]] Cov(X, Y)
계산식이 유사한 면이 있음. 비교하여 서술. TBW
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$x$ 와 $y$ 의 공분산을 $c_{xy}$ 라 하고
$x$ 와 $y$ 의 표준편차를 각각 $s_x,\,s_y$ 라 하면, '''상관계수'''는
 $\frac{c_{xy}}{s_x\cdot s_y}$

분모는 √를 씌운 것이므로 음수가 아니다. 항상 양수이다. (0은?...편차가 하나도 없는 자료에선 상관계수를 구할 수 없다???)
분자인 [[공분산,covariance]]은 음수 또는 양수가 될 수 있다.
----

= 상관계수의 해석 =
두 확률변수 X, Y의 상관계수 ρ(X, Y)는
 $\rho(X,Y)=\frac{\textrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

$\sigma_X,\sigma_Y$ 는 각각 X와 Y의 [[표준편차,standard_deviation]].
상관계수의 [[범위,range]]는 $[-1,1].$
||1  ||완전 비례 ||
||-1 ||완전 반비례 ||
||0  ||관련이 없음 (독립) ||

성질은 생략.

tmp from http://blog.naver.com/mykepzzang/220838509912 (상관계수)


= 여러 상관계수 =
''(주의) 상관계수는 한 종류가 아님. 대체적으로 Pearson상관계수가 가장 널리 쓰이는 듯 싶고, 나머지는 나중에 필요하면 페이지 분리... TODO''

적률상관계수 product-moment correlation coefficient 
일반적인 상관계수.
AKA 피어슨(Pearson) 적률상관계수
 $r_{XY}=\frac{S_{XY}}{S_X S_Y}$
see [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=512036&cid=42126&categoryId=42126 교육학용어사전]]
see [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1924171&cid=42125&categoryId=42125 교육평가 용어사전]]
//이름에 [[적률,moment]]과는 어떤관계인지 chk
[[WpKo:피어슨_상관_계수]]
[[WpSimple:Pearson_product-moment_correlation_coefficient]] - del ok
[[WpEn:Pearson_correlation_coefficient]]

[[표본상관계수,sample_correlation_coefficient]]
https://blog.naver.com/mykepzzang/220929023044 (표본상관계수 sample correlation coefficient) : 공분산을 [[정규화,normalization]]시킨 것

순위상관계수 rank correlation coefficient
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=495015&ref=y&cid=60408&categoryId=55558 간호학대사전]]
 "순위상관계수에는 통계학상 비모수법에 속하는 Spearman순위 상관계수와 Kendall순위상관계수가 있다"
[[WpSimple:Rank_correlation]]
[[WpEn:Rank_correlation]]
checkout https://bioinformaticsandme.tistory.com/58

Kendall 상관계수
[[WpEn:Kendall_rank_correlation_coefficient]]
 위 rank_correlation_coefficient 의 일종

Spearman 상관계수
[[WpKo:스피어먼_상관_계수]]
[[WpEn:Spearman's_rank_correlation_coefficient]]

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AKA '''cross-correlation coefficient'''[* Wolfram Mathworld]
 cross- 이것은 [[상호상관,cross-correlation]] 참조.

Compare:
[[결정계수,determination_coefficient]]

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3338169&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 상관계수]]
https://mathworld.wolfram.com/CorrelationCoefficient.html
https://everything2.com/title/correlation+coefficient
[[WpKo:상관계수]]
[[WpEn:Correlation_coefficient]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Correlation_coefficient

Up:
 [[통계,statistics]]
 [[계수,coefficient]]
 [[상관,correlation]]