//chk and 엄밀하게 rewrite [[집합,set]]의 일종. 벡터 하나의 span은 single line. - [[직선,line]] (종속이 아니고 독립인?) 두 벡터의 span은 plane. - [[평면,plane]] 종속인 벡터는 (basis에?) (추가해봤자) span을 증가시키지 못함. 수식으로 (대충임, 정확한 조건 등 확인 후 추가 필요) $\operatorname{Span}\{ v_1,v_2 \}$ 은 평면을 $\operatorname{Span}\{ v_1,v_2,v_3 \}$ 은 공간을 ---- [[기저,basis]]가 주어졌을 때, set of all possible [[선형결합,linear_combination]]s? ---- AKA '''펼침''' AKA '''spanning, spanning set, 생성집합, spanning subset''' 모두같은지CHK - ''혹시 span(n./v.)/spanning(n.)은 행동이고 span(n.)/spanning set은 그 결과인가?'' { Let $V$ be a [[벡터공간,vector_space|vector space]] and let $S=\lbrace \vec{v_1},\cdots,\vec{v_k}\rbrace$ be a [[부분집합,subset|subset]] of $V.$ Define the set $\textrm{Span}(S):=\lbrace a_1\vec{v_1}+\cdots+a_k\vec{v_k} \,:\; a_i\in\mathbb{R},\, i=1,\cdots,k \rbrace.$ Note that $\textrm{Span}(S)\le V.$ If $\textrm{Span}(S)=V,$ then we say that $S$ '''spans''' $V$ and $S$ is called a '''spanning subset''' of $V.$ [[https://blog.naver.com/er7812/221369104387 src]] ---- $S$ 가 벡터공간 $V$ 의 임의의 벡터들 $\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}$ 의 집합이라 하면, 스칼라들 $k_1,\ldots,k_n$ 에 대하여 $\left\{ k_1\vec{x_1} + k_2\vec{x_2} + \cdots + k_n\vec{x_n}\right\}$ 의 형태의 합을 $\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}$ 의 일차결합(=[[선형결합,linear_combination]])이라 부른다. 벡터들 $\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}$ 의 모든 일차결합들의 집합을 그 벡터들의 [[생성,span]]이라 하고 $\text{Span}(S)$ 또는 $\text{Span}(\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n})$ 으로 나타낸다. $\text{Span}(S)$ 가 벡터공간 $V$ 의 [[부분공간,subspace]]이 됨을 보이는 것은 연습문제로 남겨 둔다. // => 연습문제 7.6 문제 33 $\text{Span}(S)$ 는 벡터들 $\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}$ 에 의하여 생성된(spanned) 부분공간이라 한다. 벡터공간 $V$ 의 모든 벡터를 $S$ 에 있는 벡터들의 일차결합으로 쓸 수 있으면, 즉 $V=\text{Span}(S)$ 이면, $S$ 를 $V$ 의 '''생성집합(spanning set)'''이라 한다. 예를 들면 세 집합 $\{{\rm i},{\rm j},{\rm k}\},\;\{{\rm i},{\rm i}+{\rm j},{\rm i}+{\rm j}+{\rm k}\},\;\{{\rm i},{\rm j},{\rm k},{\rm i}+{\rm j},{\rm i}+{\rm j}+{\rm k}\}$ 각각이 벡터공간 $\mathbb{R}^3$ 의 '''생성집합'''이다. 이 개념을 써서 (책에서 앞서 언급했던) 벡터공간의 기저와 차원을 다음과 같이 정의할 수도 있다. ⇒ 벡터공간 $V$ 의 벡터들 $\{\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}\}$ 의 집합 $S$ 가 $V$ 의 '''생성집합'''이고 일차독립이면 $S$ 는 $V$ 의 [[기저,basis]]이다. 이 '''생성집합''' $S$ 에 있는 벡터의 개수는 $V$ 의 [[차원,dimension]]이다. (Zill 6e ko p444) } ---- 일단 간단히 두 벡터의 경우만 보면 The '''span''' of $\vec{v}$ and $\vec{w}$ is the [[집합,set|set]] of all their [[선형결합,linear_combination|linear combinations]]. $a\vec{v}+b\vec{w}$ Let $a$ and $b$ vary over all real numbers: $\forall a,b\in\mathbb{R}$ 그래서 2D에서 $\vec{v},\vec{w}$ 의 방향이 같으면 span은 직선. 방향이 다르면 span은 평면 전체. 3D에서는 공간 중에서 한 평면만. (영벡터는 없는 걸로 가정하는 듯) 이후 내용: v, w 방향이 같으면 linearly dependent. v, w 방향이 다르면 linearly independent. (CHK) "Linearly dependent" $\vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}$ for some values of $a$ and $b$ "Linearly independent" $\vec{w}\ne a\vec{v}$ for all values of $a$ Technical definition of basis: The [[기저,basis|basis]] of a [[벡터공간,vector_space|vector space]] is a set of [[선형독립,linear_independence|linearly independent]] vectors that '''span''' the full space. (https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY 중간 쯤) ---- AKA '''생성공간''' from [[http://kocw-n.xcache.kinxcdn.com/data/document/2016/hanbat/kimdongsoo/7.pdf src]] p21-22 CHK { '''생성공간'''(span): 성분의 수가 같은 벡터들에 관한 일차결합으로 표환(표현?)되는 모든 벡터들의 집합 [[부분공간,subspace]]: [[벡터공간,vector_space]]에서 정의된 벡터합과 스칼라곱에 대해 닫혀있는 부분집합 [[행공간,row_space]]: 행벡터들의 생성공간 [[열공간,column_space]]: 열벡터들의 생성공간 행공간과 열공간은 [[차원,dimension]]이 같고, 행렬의 [[계수,rank]]와도 동일. [[영공간,null_space]]: Ax=0의 해집합 [[퇴화차수,nullity]]: 영공간의 차원 A의 계수 + A의 퇴화차수 = A의행계수(?) } ---- CHK { [[벡터,vector]]들을 [[선형결합,linear_combination]]을 한 모든 경우의 집합 $\operatorname{span}(S)=\left\lbrace \textstyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i \vec{v_i} \middle| k\in\mathbb{N},\, \vec{v_i}\in S,\, \lambda_i\in K \right\rbrace$ https://wegonnamakeit.tistory.com/40 여기서 본건데 K가 뭐람. 아무튼. } ---- If $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}$ are in $\mathbb{R}^n,$ then the set of all [[선형결합,linear_combination|linear combinations]] of $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}$ is denoted by $\mathrm{Span}\left{\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}\right}$ and is called the '''subset of $\mathbb{R}^n$ spanned''' (or generated) by $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}.$ That is, $\mathrm{Span}\left{\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}\right}$ is the collection of all vectors that can be written in the form $c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+\cdots+c_p\vec{v_p}$ with $c_1,\cdots,c_p$ scalars. (Lay) ---- If $S$ denotes any set of vectors $\left{\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}\right}$ in a [[벡터공간,vector_space|vector space]] $V,$ then the set of all [[선형결합,linear_combination|linear combinations]] of the vectors $\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}\in S,$ $\left{k_1\vec{x_1}+k_2\vec{x_2}+\cdots+k_n\vec{x_n}\right},$ is called the '''span''' of the vectors and written $\textrm{Span}(S)$ or $\textrm{Span}(\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}).$ Span(S) is a [[부분공간,subspace|subspace]] of the vector space V. ( $k_1,k_2,\cdots,k_n$ are scalars ) (Zill 7.6 끝부분) ---- 영벡터의 생성은 영벡터 뿐 (당연. 영벡터에 뭐를 곱해도 영벡터이므로) ---- 어떤 생성 집합만으로는 벡터를 유일하게 표현할 수 없을 수 있다. 여기서 나오는 개념이 일차독립=[[선형독립,linear_independence]]이다. ---- ([[차원,dimension]]과 [[기저,basis]]를 먼저 정의한 후, 바로 뒤에) 성분의 수가 같은 벡터들 $\vec{a_1},\cdots,\vec{a_p}$ 이 주어졌다고 하고, 이들의 [[선형결합,linear_combination]]으로 표현되는 모든 벡터들의 집합을 이들 벡터들의 '''생성공간'''(span)이라 한다. 생성공간은 그 자체로 [[벡터공간,vector_space]]이 됨을 알 수 있다. 만일 주어진 벡터들 $\vec{a_1},\cdots,\vec{a_p}$ 이 [[선형독립,linear_independence]]이라면, 이 벡터들은 해당 '''생성공간'''의 [[기저,basis]]임을 알 수 있다. 이 사실은 기저를 다른 방식으로 정의할 수 있게 해 준다. 벡터공간 V에 속한 몇 개의 벡터들로 집합을 만들었다고 하자. (1) 이 집합의 벡터들이 선형독립이고, (2) V에 속한 임의의 벡터는 이 집합의 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다면, 이 집합은 V의 기저이다. 참고로, 성질 (2)가 성립할 때, 그 집합의 벡터들이 벡터공간 V를 '''생성한다'''라고 말한다. 행렬 A에 대해, 그 [[행벡터,row_vector]]들의 '''생성공간'''을 [[행공간,row_space]], [[열벡터,column_vector]]들의 '''생성공간'''을 [[열공간,column_space]] 이라고 부른다. 행렬 A의 행공간과 열공간의 차원이 같고 rank(A)와 동일하다는 내용 생략. TBW. 행렬 A에 대한 제차연립방정식 Ax=0의 해를 모두 모은 해집합을 A의 [[영공간,null_space]]이라 부르며, 이는 벡터공간이다. 또한 영공간의 차원을 A의 [[퇴화차수,nullity]]라 한다. 다음 절에서 (A의 계수) + (A의 퇴화차수) = (행렬 A의 행 개수)를 증명할 것이다. (대충 적음) (Kreyszig 7.4 벡터공간) ---- 관련 [[차원,dimension]] [[기저,basis]] rename this page to [[선형생성,linear_span]] or aka(redirect)로 처리? Twins: [[WpKo:선형생성]] - aka 선형포 linear_hull (EoM) https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_hull [[WpEn:Linear_span]] (주의) 단어 span은 linalg를 벗어나면 의미가 달라질 수 있음. MW에선 vector space span, WpEn과 nLab에선 linear span이라 하여 구분함. MathWorld 해당 페이지는 https://mathworld.wolfram.com/Span.html 가 아니라 https://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceSpan.html (https://ncatlab.org/nlab/show/span - [[관계,relation]]를 일반화한 개념) [[벡터공간,vector_space]]이나 [[module]]의 '''span'''에 대해선 see: https://ncatlab.org/nlab/show/linear+span <- linear combinations 페이지로 redir. ---- Up: [[선형대수,linear_algebra]]