선적분은 [[정적분,definite_integral]]을 일반화한 것이다.
정적분은 피적분함수(integrand)를 (적분변수가 x이면) x축을 따라 적분한다.
선적분에서는 피적분함수를 공간(혹은 평면) 내의 [[곡선,curve]] C를 따라 적분한다. 따라서 곡선적분(curve integral)이 보다 나은 이름이지만, 선적분이 표준으로 쓰인다.

(Kreyszig 10.1)
----
선적분
 $\int_L \vec{A}\cdot d\vec{\ell}$
은 곡선 $L$ 을 따른 $\vec{A}$ 의 접선성분의 적분이다.
 $\vec{A}$ : [[벡터장,vector_field]]
 $L$ : [[곡선,curve]]

(Sadiku 3.3)
----
우선 [[곡선,curve]] C를 정의: [[매개변수방정식,parametric_equation]]
 $x=x(t),\,y=y(t),\,z=z(t)\textrm{ for }a \le t \le b$
(이것들을 좌표함수(coordinate functions)라 함)

t를 시간, C를 시간 t에서의 물체의 궤적,
$C(t)=(x(t),y(t),z(t))$
t=a일 때의 시점(initial point) $(x(a),y(a),z(a))$
t=b일 때의 종점(terminal point) $(x(b),y(b),z(b))$
시점과 종점이 같은 경우 closed
이렇게 생각할 수 있음
(continuous, differentiable, simple, smooth는 생략 - 책 참조)

나중에 TBW.................

(O'Neil 7e 12.1 p367)

책 앞 line integral 표기법 안내:
 $\textstyle\int\nolimits_C fdx+gdy+hdz$ 
 $\textstyle\int\nolimits_C \vec{F}\cdot d\vec{R}$ 위와 마찬가지. $\vec{F}=f\vec{i}+g\vec{j}+h\vec{k}$ 일 때.
 $\textstyle\int\nolimits_C f(x,y,z)ds$ line integral of $f$ over $C$ w.r.t. arc_length
----
z축이 $f(x,y)$ 인 그래프를 그리고 설명함
 $x=g(t)$
 $y=h(t)$
 $a\le t \le b$
2차원 평면에서 arc_length(curr goto [[호,arc]])의 매우 작은 변화 ([[미분,differential]]) ds는
 $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ (피타고라스 정리)
구하는 것은
 $\int_{t=a}^{t=b}f(x,y)ds$ (이하 t=a에서 t=b 까지 가는 것을 곡선 C?라고 표시)
 $=\int_C f(x(t),y(t))\sqrt{dx^2+dy^2}$
이것을 t에 대해 나타내야 하므로
 $=\int_C f(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$
위 조건에서 $dx/dt=g'(t),\,dy/dt=h'(t)$ ...

from Khan: Introduction to the line integral https://youtu.be/_60sKaoRmhU
----
[[벡터장,vector_field]] 안에서만 의미가 있나?
벡터장 A, 곡선 L이 주어질 때, L위의 점 a에서 b까지 움직이면서 미소길이([[접선,tangent_line]]방향의 매우 짧은 벡터, [[접벡터,tangent_vector]] 인지 CHK) $\vec{\ell}$ 이 받는 A의 영향은 [[스칼라곱,scalar_product,dot_product]]
 $\vec{A}\cdot d\vec{\ell}$
이고 이것을 선적분하면 (두번째 식은 개곡선일때만)
 $\int_L \vec{A}\cdot d\vec{\ell} = \int_a^b \vec{A}\cdot d\vec{\ell}$
이고 폐경로일땐(원래 자리로 돌아옴, 즉 a→b→a→b..., 순환circulation)
 $\int$ 대신 $\oint$
를 씀?

from https://www.youtube.com/watch?v=r4okf9RAVWo ; CHK
----
선적분의 적분구간 시작과 끝, 매개변수가 모두 [[위치벡터,position_vector]]일 수 있다.
(오래 전 만든 [[퍼텐셜에너지,potential_energy]]페이지에 예제)
$\int_{\vec{r_1}}^{\vec{r_2}}\vec{F}(\vec{r})\cdot\vec{dr}$
----
알짜힘이 다음과 같으므로
 $F(r(t))\cdot r'(t)$
a에서 b까지 받은 바람의 영향의 총합은
 $\int F(r(t))\cdot r^{\prime}(t)dt$
여기서
 $r^{\prime}(t)=\frac{dr(t)}{dt}$
 $dr(t)=r^{\prime}(t) dt$
이므로 적분식은
 $\int F(r)\cdot dr$
이 된다

from, and see also: http://mathnmath.tistory.com/100
----
latex 수식을 카피해 왔는데 mimetex에선 \mathbf가 일반 글자(non-bold)랑 구분이 잘 안 된다. 모두 vec으로 치환함.

scalar field에서는
> $\int\limits_C f(\vec{r})\, ds = \int_a^b f\left(\vec{r}(t)\right)\,\,|\vec{r}{}^{'}(t)| \, dt$

vector field에서는
> $\int\limits_C \vec{F}(\vec{r})\cdot\,d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}{}^{'}(t)\,dt$

from, and see also [[WpEn:Line_integral]]
----
W = F · s 와 관련이 깊다.
$W=\vec{F}\cdot \vec{s}$
 ↓
$W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{s}$
----
선적분
 $\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$
에서
 $C$ : 적분할 경로
 $\vec{F}(\vec{r})$ : 피적분함수
특히 적분할 경로가 폐곡선인 경우, $\oint$ 기호를 쓰며, 값을 $\vec{F}$ 의 $C$ 에 대한 circulation이라고 부름

[[Date(2020-09-16T09:08:22)]] from https://www.youtube.com/watch?v=Sa7xDuWEvZ4 스토크스 정리와 다이버젠스 정리 5:30 (차동우)
----
//from 수학백과 선적분

'보존적 벡터장의 '''선적분'''은 경로독립'
[[보존장,conservative_field]]?의 line integral은 path_independent / path_independence


= Logs =
[[Date(2020-09-09T17:27:10)]]
한국어 설명:
https://angeloyeo.github.io/2020/08/17/line_integral.html ([[벡터장,vector_field]]의 선적분)
https://angeloyeo.github.io/2020/10/01/path_independence.html (벡터장과 path independence)

[[Date(2020-09-18T08:27:15)]]
line 대신 curve 라고도 하나보다 (이게 더 옳지 않나? line은 보통 직선 뉘앙스 아닌가)
선적분 curve integral https://pinkwink.kr/215

[[Date(2020-12-23T16:10:35)]]
단어만 보면 [[경로적분,contour_integral]]과 비슷한데 차이 구분하여 서술. Compare. TBW.
선적분 개념은 물리적으로 [[일,work]]과 밀접하다. 관계서술예정. 특히 보존력(밑에 언급).
참고: https://blog.naver.com/bmw9707121/221595571286


----
Compare: [[면적분,surface_integral]]
Related: [[보존력,conservative_force]]개념과 깊은 연관이 있는듯?
Related: [[스토크스_정리,Stokes_theorem]]는 뭐뭐...의 선적분값 = 뭐뭐..의 면적분값 이라는 정리.

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1112042&cid=40942&categoryId=32221 두산백과: 선적분]] AKA '''곡선적분''' - ''curve_integral. 사실 이게 더 정확한 표현.''
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338145&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 적분]] - section "4. 곡선 위의 선적분" 참조
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405173&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 선적분]]
https://everything2.com/title/Line+integral
[[Namu:선적분]]

https://ncatlab.org/nlab/show/line+integral

----
Parent: [[미적분,calculus]] > [[적분,integration]]
 [[중적분,multiple_integral]]?