AKA '''일차결합'''

함수 $f_1,\cdots,f_n$
상수 $c_1,\cdots,c_n$ 일 때
'''linear combination''' of $f_1,\cdots,f_n:$
 $\sum_{i=1}^{n}c_if_i=c_1f_1+c_2f_2+\cdots+c_nf_n$
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Given vectors $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_p}\in\mathbb{R}^n$ and given scalars $c_1,c_2,\cdots,c_p,$ the vector $\vec{y}$ defined by
 $\vec{y}=c_1\vec{v_1}+\cdots+c_p\vec{v_p}$
is called a '''linear combination''' of $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}$ with [[가중값,weight|weights]] $c_1,\cdots,c_p.$

(Lay)
## from Lay: Linear Combinations
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$\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_k}$ 가 $\mathbb{R}^n$ 의 [[벡터,vector]]이고, 계수 $c_1,c_2,\cdots,c_k$ 가 실수일 때,
 $\vec{x}=c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+\cdots+c_k\vec{v_k}$
인 형태를 $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_k}$ 의 '''일차결합'''(linear combination)이라 한다.
## from BigBook LinearAlgebra
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Let $V$ be a [[벡터공간,vector_space|vector space]] and let $S=\lbrace \vec{v_1},\cdots,\vec{v_k}\rbrace$ be a [[부분집합,subset|subset]] of $V.$
A [[벡터,vector|vector]]
 $a_1\vec{v_1}+\cdots+a_k\vec{v_k}$
for some $a_i\in\mathbb{R}$ is called a '''linear combination''' of $S.$

[[https://blog.naver.com/er7812/221369104387 src]]
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(정의) $x_1,\cdots,x_n$ 의 '''선형결합'''의 형태는
 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$
이고 $a_1,\cdots,a_n\in\mathbb{R}$ 은 결합의 [[계수,coefficient]]들이다.
변수 $x_1,\cdots,x_n$ 의 [[선형방정식,linear_equation]]의 형태는
 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d$
이고 $d\in\mathbb{R}$ 은 [[상수,constant]]이다.
n-[[튜플,tuple]] $(s_1,s_2,\cdots,s_n)\in\mathbb{R}^n$ 를 변수에 넣어(substitute) 성립하면, 즉
 $a_1s_1+a_2s_2+\cdots+a_ns_n=d$
이면, [[해,solution]]라고 하거나 '만족한다'고 한다.

(Hefferon 1.1 Def)
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= tmp =
$\vec{v}=\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix},\;\vec{w}=\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}$
일 때
$\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}=\alpha\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha a_1+\beta a_2\\ \alpha b_1+\beta b_2\\ \alpha c_1+\beta c_2\end{bmatrix}$

이것은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
$\begin{bmatrix}\vec{v}&\vec{w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\\c_1&c_2\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\\c_1&c_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha a_1+\beta a_2\\ \alpha b_1+\beta b_2\\ \alpha c_1+\beta c_2\end{bmatrix}=\alpha\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}$

= tmp 2 =
''QQQ 일차결합이 있으면 Google:quadratic.combination 같은 것도 정의 가능? or meaningless? ( Google:이차결합 은 [[Date(2022-04-03T20:00:27)]] 현재 화학 얘기만 줄줄..)''

= tmp 3 =
[[평면,plane]]위 두 [[벡터,vector]]의 '''선형결합'''은 [[직선,line]] 혹은 [[평행사변형,parallelogram]]을 만드는 개념? chk

= 결합(combination) =
여기(선형결합)의 상위개념?
// fork later to : [[결합,combination]]?
{
이름이 관련
한국어 단어 '결합'의 다른 뜻: 확률론의 [[결합,joint]], 화학의 [[결합,bond]]([[화학결합,chemical_bond]])
같은 영단어 'combination': [[조합,combination]]

// tmp from https://ratsgo.github.io/convex%20optimization/2017/12/25/convexset/ 처음부분
벡터 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 이 있을 때, 이들을 결합하는 방식 세 가지
 * [[선형결합,linear_combination]] : $\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_n x_n \;\; (\alpha_i\in\mathbb{R})$
 * [[아핀결합,affine_combination]] : $\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_n x_n \;\; (\textstyle\sum_i\alpha_i=1)$
 * [[볼록결합,convex_combination]] : $\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_n x_n \;\; (\textstyle\sum_i\alpha_i=1 \,\textrm{ and }\, 0 \le \alpha_i \le 1)$

// tmp 같이 참고: https://blog.naver.com/wjdtjsrms11/222623431037 (중간쯤)

[[아핀결합,affine_combination]]에 대해 닫힌 집합은 [[아핀집합,affine_set]].
[[볼록결합,convex_combination]]에 대해 닫힌 집합은 [[볼록집합,convex_set]].

chk:
Google:affine.combination
Google:convex.combination
}

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Related:
[[선형성,linearity]]
[[선형계,linear_system]]
[[선형독립,linear_independence]]

Twins:
[[WpEn:Linear_combination]]
[[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405274&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 일차결합]]
https://mathworld.wolfram.com/LinearCombination.html (easy)
계산 및 출력하는 코드: https://rosettacode.org/wiki/Display_a_linear_combination

Up: [[선형대수,linear_algebra]]
''[[결합,combination]]? [[조합,combination]] 말고''

tmp note: forked from [[여러가지미분표와적분표]]