'''선형사상, linear map, linear mapping'''

'''[[선형변환,linear_transformation]], 일차변환'''과 동의어.
 
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행렬에서 얻어지는 사상
 $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$
은 다음과 같은 특징이 있다. 임의의 $\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ 와 $t\in\mathbb{R}$ 에 대하여
 $L(\vec{x}+\vec{y})=L(\vec{x})+L(\vec{y})$
 $L(t\vec{x})=tL(\vec{x})$
이와 같은 성질을 가지고 있는 사상을 '''선형사상'''(linear map)이라고 부른다.

Ex.
[[항등사상,identity_map]]
 $\text{id}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,$
 $\text{id}(\vec{x}):=\vec{x}$
는 당연히 선형사상이다. 원점에 대한 점대칭변환
 $-\text{id}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,$
 $\vec{x}\mapsto-\vec{x}$
도 선형사상이다. 또 다른 보기로는 주어진 실수 $a_1,\cdots,a_n$ 에 대하여 함수
 $l(x_1,\cdots,x_n):=a_1x_1+\cdots+a_nx_n \;\;\; ((x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n)$
은 선형사상이다.

바나흐는 1922년에 선형사상의 개념을 확립했다.

모든 선형사상은 [[행렬,matrix]]에서 얻어진다.
i.e. 행렬과 선형사상은 같은 것으로 볼 수 있다.
''행렬과 선형사상이 대응된다는 얘기. QQQ 일대일대응?''

(김홍종 미적1+ p234-235)

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mklink
[[bilinear_map]]
[[multilinear_map]]
[[선형형식,linear_form]]

// 다음 줄은 '''이것'''과 매우 유사하거나 동일한데 page 어떻게 할건지 TBD
[[linear_operator]] - 선형작용소 or 선형연산자 ... [[선형연산,linear_operation]] or [[선형연산자,linear_operator]] ...  

[[선형함수,linear_function]] (??? 저건 map=function 동의어로 놓으면 순수수학의 이거랑 같은 뜻일수도 있고, 그렇게 하지 않으면 전혀 다른 뜻일수도 있는데.. 암튼 작성중)

<<tableofcontents>>

= cmp =

== bilinear map ==
bilinear_map - writing
{
 cmp bilinear_form
 Up bilinearity
}

== 다중선형사상(multilinear map) ==
multilinear_map - writing
{
 cmp multilinear_form
 Up multilinearity - 대충 다중선형성 다선형성 둘중에서 선택예정.
  (tmp) kms multilin - https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=multilin -  다중선형 and 겹선형 ..
}

= antilinear map =
[[antilinear_map]]
{
[[WpEn:Antilinear_map]]
}

== linear morphism ? ==
[[사상,morphism]] + [[선형성,linearity]] - [[선형사상,linear_morphism]]?

WtEn:linear_morphism x
WpSp:Linear_morphism x
WpEn:Linear_morphism x
Naver:"linear morphism"
Ggl:"linear morphism"
"linear morphism"

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https://foldoc.org/linear+map
[[WpEn:Linear_map]]
https://ncatlab.org/nlab/show/linear+map

https://citizendium.org/wiki/Linear_map
 '''linear map''' = linear transformation = linear operator

Up: [[선형성,linearity]] [[사상,map]]