선형성,linearity

// from Varberg calculus
An operator $L$ is linear if it satisfies two key conditions:
  • $L(ku)=kL(u)$
  • $L(u+v)=L(u)+L(v)$

(정의) 선형성
임의의 시스템,system $f$ 의 입력 $(x)$ 과 출력 $(y=f(x))$ 의 관계가 아래 식과 같으면 이 시스템은 선형성을 가진다. 즉
입력 $x_1$ 에 의해 출력 $y_1=f(x_1)$ 이 나오고
입력 $x_2$ 에 의해 출력 $y_2=f(x_2)$ 가 나올 때, 아래 식과 같은 관계가 성립하면 이 시스템 $f$ 는 선형성을 가진다.
$f(ax_1+bx_2)=af(x_1)+bf(x_2)$
(중첩의 원리)

(최윤식 회로이론 p19)

// from 조준호 신시 강의, 슬라이드는 Oppenheim 기반. https://youtu.be/xSGN-_l0pJc?t=3552
Def.
A system is linear if[1] it has the superposition property: // linear_superposition_property or superposition_property - aka 중첩원리,superposition_principle rel. 중첩,superposition
If
x1(t)→y1(t) and x2(t)→y2(t)
then
ax1(t)+bx2(t)→ay1(t)+by2(t)
for all x1(t), x2(t).
Lemma
(모든) 선형계에 대해 zero input → zero output이다.
Proof:
0=0·x[n]→0·y[n]=0

QQQ 이름은 당연히 직선,line, 즉 Srch:일차함수 Srch:선형함수 Srch:linear_function (선형함수,linear_function later)의 성질에서?
그러니까 rel. Srch:정비례 Srch:proportion ? // curr. 비,ratio

CHK
선형성의 두 조건
Additivity(가합성):
$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$
Homogeniety(동질성):
$f(ax)=af(x)$

Superposition $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$
Homogeniety $f(a\cdot x)=a\cdot f(x)$

linear-guest.pdf 에서 "vector addition and scalar multiplication" 그게 이거?
그런듯. 그 표현이 반복되고 나서 다음 내용. ↓
Additivity:
$L(u+v)=L(u)+L(v)$
Homogeneity:
$L(cu)=cL(u)$

또는 additivity and scaling 이라 함. [2]
  • Additivity: $L(\vec{v}+\vec{w})=L(\vec{v})+L(\vec{w})$
  • Scaling: $L(c\vec{v})=cL(\vec{v})$

또는 (선형계획법 쪽에선?) 가합성additivity and 비례성proportionality 이라 함.[3]



Related:
중첩원리,superposition_principle

선형성을 만족하는 것들
미분,differentiation or 미분,derivative - see 여러가지미분표와적분표
$[af(x)+bg(x)]'=af'(x)+bg'(x)$
https://calculus.subwiki.org/wiki/Repeated_differentiation_is_linear
RR:미분연산자,differential_operator
부정적분,indefinite_integral
QQQ 정적분,definite_integral은??
기대값,expected_value(expectation)은 선형성을 띤다. 상수 $a, b$ 와 확률변수 $X$ 에 대해,
$\text{E}[aX+b]=a\text{E}[X]+b$
라플라스_변환,Laplace_transform
그리고 그 역변환 - inverse_Laplace_transform

선형함수,linear_function = 일차함수
$f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$
선형미분방정식,linear_DE // 선형미분방정식,linear_differential_equation,linear_DE - curr see 미분방정식,differential_equation
미분방정식 $F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$ 이 있을 때
$y,y',\cdots,y^{(n)}$ 에 대해 (x는 상관없음) linear라는 것은,
$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$
Google:linear.differential.equation
... 나중에 선형방정식,linear_equation의 한 뜻? 저기에는 ● 일차함수 방정식이라는 것과 ● 선형미분방정식이라는 두 가지의 뜻이 있을 것 같은데... chkout: Google:linear.equation
선형회귀,linear_regression

선형성과의 차이 비교서술예정...


[edit]

.........각종 linear의 변형? 일반화? 등등(linear 앞에 prefix가 붙은 - 무슨무슨linearity) 단어들............


반대: 비선형성,nonlinearity 비선형계,nonlinear_system WpEn:Nonlinear_system (둘다 writing)
{
비선형 nonlinear adj.
비선형성 nonlinearity n.

// via 포공 조준호 신시 https://youtu.be/xSGN-_l0pJc?t=3484
비선형성을 어떻게 다룰 것인가?
http://www.aistudy.com/physics/chaos/nonlinear.htm
}

bilinear : 이중선형의, 쌍선형의 (kms)
겹선형
https://sciphy.tistory.com/1297
,bilinear_transform- 작성중
bilinear_form - curr at 선형형식,linear_form - 작성중... 이건 이중선형/쌍선형/겹선형 중 결정이 안되어 좀 늦춰질듯

다중선형성,multilinearity
multilinear : 다중선형 (kms) https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=multilinear
다중선형사상(multilinear map) - see 선형사상,linear_map
다중선형대수,multilinear_algebra
다중선형형식. multilinear_form Up: 다중선형성,multilinearity 형식,form

collinear : 동일직선상(의), 공선 (kms)
RR:collinear
통계에서 multicollinearity = collinearity. See WpEn:Multicollinearity
기하에선 다른가? See WpEn:Collinearity

Google:quasilinear
Naver:quasilinear보면 보통 '준선형'으로 번역하는 듯.
WpEn:Quasilinear
quasilinear function: a function that is both quasiconvex and quasiconcave
복잡도,complexity에서: $O(n\log n)$

antilinear antilinearity
https://mathworld.wolfram.com/Antilinear.html
Ref가 Sakurai 책 Modern Quantum Mechanics네?
WpEn:Antilinear_map - antilinear or conjugate-linear
"반선형 성질(antilinearity)" - see https://sasamath.com/blog/articles/linear-algebra-inner-product-spaces/
kms: .... https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=antilinea
antilinear 비선형
antilinear mapping 비선형사상
근데 비선형은 nonlinear에 널리 쓰이고 있어서 좋은 번역이 아닌 듯 한데...
반선형성?
... Google:antilinearity Naver:antilinearity

sesquilinearity - 작성중
kms .... https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=sesqui
sesquilinear 반쌍형적
... Google:sesquilinearity Naver:sesquilinearity

선형관계 linear_relation ? linear_relationship ? - 작성중

국소적 선형성
... QQQ 영어는 local_linearity ? Google:local linearity
$f'(a)$ 가 존재할 때 곡선 $y=f(x)$ 의 그래프를 점 $P(a,f(a))$ 근방에서 확대하면 할수록 곡선,curve은 직선,line처럼 보인다. 이런 경우 곡선 $y=f(x)$ 는 $x=a$ 에서 국소적으로 선형(locally linear)이라 한다.
미분계수,differential_coefficient $f'(a)$ 를 그 점에서 곡선의 기울기,slope로 정의.
점 $P(a,f(a))$ 에서 곡선의 기울기와 같은 기울기를 갖는 직선을 접선,tangent_line으로 정의.[4]
일반적으로 국소적 선형성과 미분가능성,differentiability은 동치이다.[5]
Up: 국소성,locality?

선형성의 성질인 덧셈과 상수배는 부분공간,subspace 정의에서도 나온다. mklink

직선형성,rectilinearity - 운동,motion에서. 선형성보다 더 엄밀? , 직선,straight_line?을 따라 운동하는 경우에만 적용.
translation과 차이가?


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