// from Varberg calculus An [[연산자,operator|operator]] $L$ is '''linear''' if it satisfies two key conditions: * $L(ku)=kL(u)$ * $L(u+v)=L(u)+L(v)$ ---- (정의) 선형성 임의의 [[시스템,system]] $f$ 의 입력 $(x)$ 과 출력 $(y=f(x))$ 의 관계가 아래 식과 같으면 이 시스템은 '''선형성'''을 가진다. 즉 입력 $x_1$ 에 의해 출력 $y_1=f(x_1)$ 이 나오고 입력 $x_2$ 에 의해 출력 $y_2=f(x_2)$ 가 나올 때, 아래 식과 같은 관계가 성립하면 이 시스템 $f$ 는 '''선형성'''을 가진다. $f(ax_1+bx_2)=af(x_1)+bf(x_2)$ ([[중첩원리,superposition_principle|중첩의 원리]]) (최윤식 회로이론 p19) ---- // from 조준호 신시 강의, 슬라이드는 Oppenheim 기반. https://youtu.be/xSGN-_l0pJc?t=3552 __Def.__ A system is linear if[* 참고로 동영상의 내용에 따르면 [[수학,math]]에서 [[정의,definition]]하는 [[문장,sentence]]에 있어서 iff와 if는 같은 뜻이라 한다. iff가 아닌 if로 써도 무방하며 오히려 iff로 쓰면 하수로 본다고(?)] it has the superposition property: // linear_superposition_property or [[superposition_property]] - aka [[중첩원리,superposition_principle]] rel. [[중첩,superposition]] If > x,,1,,(t)→y,,1,,(t) and x,,2,,(t)→y,,2,,(t) then > ax,,1,,(t)+bx,,2,,(t)→ay,,1,,(t)+by,,2,,(t) for all x,,1,,(t), x,,2,,(t). __Lemma__ (모든) 선형계에 대해 zero input → zero output이다. Proof: > 0=0·x![n]→0·y![n]=0 ---- QQQ 이름은 당연히 [[직선,line]], 즉 Srch:일차함수 Srch:선형함수 Srch:linear_function ([[선형함수,linear_function]] later)의 성질에서? 그러니까 rel. Srch:정비례 Srch:proportion ? // curr. [[비,ratio]] CHK 선형성의 두 조건 Additivity(가합성): $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ Homogeniety(동질성): $f(ax)=af(x)$ ||Superposition ||$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ || ||Homogeniety ||$f(a\cdot x)=a\cdot f(x)$ || linear-guest.pdf 에서 "vector addition and scalar multiplication" 그게 이거? 그런듯. 그 표현이 반복되고 나서 다음 내용. ↓ Additivity: $L(u+v)=L(u)+L(v)$ Homogeneity: $L(cu)=cL(u)$ 또는 additivity and scaling 이라 함. [* https://www.youtube.com/watch?v=TgKwz5Ikpc8 4:30] * Additivity: $L(\vec{v}+\vec{w})=L(\vec{v})+L(\vec{w})$ * Scaling: $L(c\vec{v})=cL(\vec{v})$ 또는 (선형계획법 쪽에선?) 가합성additivity and 비례성proportionality 이라 함.[* http://kocw.net/home/cview.do?cid=42680d24aefd80c2 허재석 선형계획의 이해 11m] Sub: [[선형근사,linear_approximation]] [[선형화,linearization]] [[선형결합,linear_combination]] [[선형독립,linear_independence]] and [[선형종속,linear_dependence]] [[선형변환,linear_transformation]] (= [[선형사상,linear_map]]) [[선형계,linear_system]] 선형공간(linear space)은 [[벡터공간,vector_space]]과 동의어 [[선형형식,linear_form]] - 작성중 [[선형상관,linear_correlation]] - writing; [[상관,correlation]] [[linear_interpolation]] - writing; [[보간,interpolation]] [[선형연산자,linear_operator]] - writing bounded_linear_operator { bounded linear operator Up: [[bounded_operator]] { https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_operator } and [[선형연산자,linear_operator]] https://proofwiki.org/wiki/Definition:Bounded_Linear_Operator MKL bounded_linear_transformation { https://proofwiki.org/wiki/Definition:Bounded_Linear_Transformation } } // bounded linear operator ... Ggl:"bounded linear operator" NN:"bounded linear operator" [[RR:선형미방linear_DE]] [[RR:일계선형미방first-order_linear_DE]] [[선형미분방정식,linear_differential_equation]] [[first-order_linear_differential_equation]] [[선형계획법,linear_programming]] - 작성중 [[비선형계획법,nonlinear_programming]] - 〃 [[선형순서,linear_order]] = [[전순서,total_order]]? chk Related: [[중첩원리,superposition_principle]] 선형성을 만족하는 것들 [[미분,differentiation]] or [[미분,derivative]] - see [[여러가지미분표와적분표]] $[af(x)+bg(x)]'=af'(x)+bg'(x)$ https://calculus.subwiki.org/wiki/Repeated_differentiation_is_linear [[RR:미분연산자,differential_operator]] [[부정적분,indefinite_integral]] QQQ [[정적분,definite_integral]]은?? [[기대값,expected_value]](expectation)은 선형성을 띤다. 상수 $a, b$ 와 확률변수 $X$ 에 대해, $\text{E}[aX+b]=a\text{E}[X]+b$ [[라플라스_변환,Laplace_transform]] 그리고 그 역변환 - [[inverse_Laplace_transform]] [[선형함수,linear_function]] = 일차함수 $f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$ 선형미분방정식,linear_DE // [[선형미분방정식,linear_differential_equation,linear_DE]] - curr see [[미분방정식,differential_equation]] 미분방정식 $F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$ 이 있을 때 $y,y',\cdots,y^{(n)}$ 에 대해 (x는 상관없음) linear라는 것은, $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$ Google:linear.differential.equation ... 나중에 [[선형방정식,linear_equation]]의 한 뜻? 저기에는 ● 일차함수 방정식이라는 것과 ● 선형미분방정식이라는 두 가지의 뜻이 있을 것 같은데... chkout: Google:linear.equation [[선형회귀,linear_regression]] ---- 선형성과의 차이 비교서술예정... [[유사도,similarity]] [[직교성,orthogonality]] = .........각종 linear의 변형? 일반화? 등등(linear 앞에 prefix가 붙은 - 무슨무슨linearity) 단어들............ = 반대: [[비선형성,nonlinearity]] [[비선형계,nonlinear_system]] [[WpEn:Nonlinear_system]] (둘다 writing) { 비선형 nonlinear adj. 비선형성 nonlinearity n. // via 포공 조준호 신시 https://youtu.be/xSGN-_l0pJc?t=3484 비선형성을 어떻게 다룰 것인가? * affine ([[affinity]]? [[affine]]?) (linear가 y=ax라 할 때, affine은 y=ax+b.) - linear와 유사한 방법으로 다룰 수 있음. * linearize (선형화하기) // [[선형화,linearization]] * [[Volterra_series]] (writing) * [[Bussgang_theorem]] (writing) http://www.aistudy.com/physics/chaos/nonlinear.htm } bilinear : 이중선형의, 쌍선형의 (kms) 겹선형 https://sciphy.tistory.com/1297 [[,bilinear_transform]]- 작성중 bilinear_form - curr at [[선형형식,linear_form]] - 작성중... 이건 이중선형/쌍선형/겹선형 중 결정이 안되어 좀 늦춰질듯 [[다중선형성,multilinearity]] multilinear : 다중선형 (kms) https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=multilinear 다중선형사상(multilinear map) - see [[선형사상,linear_map]] [[다중선형대수,multilinear_algebra]] 다중선형형식. multilinear_form Up: [[다중선형성,multilinearity]] [[형식,form]] collinear : 동일직선상(의), 공선 (kms) [[RR:collinear]] 통계에서 multicollinearity = collinearity. See [[WpEn:Multicollinearity]] 기하에선 다른가? See [[WpEn:Collinearity]] Google:quasilinear Naver:quasilinear 보면 보통 '준선형'으로 번역하는 듯. WpEn:Quasilinear quasilinear function: a function that is both quasiconvex and quasiconcave [[복잡도,complexity]]에서: $O(n\log n)$ antilinear antilinearity https://mathworld.wolfram.com/Antilinear.html Ref가 Sakurai 책 Modern Quantum Mechanics네? [[WpEn:Antilinear_map]] - antilinear or conjugate-linear "반선형 성질(antilinearity)" - see https://sasamath.com/blog/articles/linear-algebra-inner-product-spaces/ kms: .... https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=antilinea antilinear 비선형 antilinear mapping 비선형사상 근데 비선형은 nonlinear에 널리 쓰이고 있어서 좋은 번역이 아닌 듯 한데... 반선형성? ... Google:antilinearity Naver:antilinearity sesquilinearity - 작성중 kms .... https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=sesqui sesquilinear 반쌍형적 ... Google:sesquilinearity Naver:sesquilinearity 선형관계 linear_relation ? linear_relationship ? - 작성중 국소적 선형성 ... QQQ 영어는 local_linearity ? Google:local+linearity $f'(a)$ 가 존재할 때 곡선 $y=f(x)$ 의 그래프를 점 $P(a,f(a))$ 근방에서 확대하면 할수록 [[곡선,curve]]은 [[직선,line]]처럼 보인다. 이런 경우 곡선 $y=f(x)$ 는 $x=a$ 에서 '''국소적으로 선형(locally linear)'''이라 한다. [[미분계수,differential_coefficient]] $f'(a)$ 를 그 점에서 곡선의 [[기울기,slope]]로 정의. 점 $P(a,f(a))$ 에서 곡선의 기울기와 같은 기울기를 갖는 직선을 [[접선,tangent_line]]으로 정의.[* 서울대기초수학학습교재 p101] 일반적으로 '''국소적 선형성'''과 [[미분가능성,differentiability]]은 동치이다.[* 서울대기초수학학습교재 p103] Up: [[국소성,locality]]? '''선형성'''의 성질인 덧셈과 상수배는 [[부분공간,subspace]] 정의에서도 나온다. mklink [[직선형성,rectilinearity]] - [[운동,motion]]에서. 선형성보다 더 엄밀? , [[직선,straight_line]]?을 따라 운동하는 경우에만 적용. translation과 차이가? ---- [[WpKo:선형성]] [[WpEn:Linearity]] https://everything2.com/title/linear Up: [[선형대수,linear_algebra]]