'''convergence''' n. 수렴(성)
converge vi. 수렴하다, 수렴한다 (모여들다, 집중되다)
convergent adj. 수렴하는

convergence interval, interval of convergence 수렴구간
convergent series 수렴하는 급수
 convergent_series { 수렴급수? https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSeries.html [[급수,series]] }
convergent_sequence { 수렴수열? 수렴열?
 rel. WpEn:Limit_of_a_sequence WpKo:수열의_극한 
 ([[극한,limit]]이 존재하는 sequence는 convergent sequence.)
 https://planetmath.org/convergentsequence
 https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSequence.html
 [[수열,sequence]]
 }

수렴반경 수렴반지름 convergence radius - 아래 section

Sub:
 [[절대수렴,absolute_convergence]]
 [[조건수렴,conditional_convergence]] - 작성중
 [[무조건수렴,unconditional_convergence]]
{
[[무한급수,infinite_series]]....

TBW [[조건수렴,conditional_convergence]] and [[절대수렴,absolute_convergence]]과 어떤관계?

Twins:
 [[WpKo:무조건_수렴]](까다로움)
 [[WpEn:Unconditional_convergence]](덜 까다로움)

Up: [[수렴,convergence]]
}
 [[균등수렴,uniform_convergence]] - writing
 [[점별수렴,점마다수렴,pointwise_convergence]] - writing
  '수학백과: 수렴' 의 '4.함수열의 수렴성' 에 함수열의 pointwise convergence 설명 있음.
관련:
 [[수렴판정법,convergence_test]]
 [[무한급수,infinite_series]]

 [[단조수렴정리,monotone_convergence_theorem]]

반대: [[발산,divergence]] (다만 수렴의 반대 뜻 뿐만 아닌 다른 뜻도 있음)

<<TableOfContents>>

= 판정법의 일종인데... 발산에 관한 일반항 판정법 =
(1) 급수([[무한급수,infinite_series]]) $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 이 '''수렴'''하면 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ 이다.
(2) $\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0$ 이면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 은 발산한다.
''(위 둘은 서로 대우임이 보인다)''

wpen에선 [[극한,limit]]이 존재하지 않는 경우도 이 test가 성립한다고 적어놓음:
If $\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0$ or if the limit does not exist, then $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ diverges.

TOFORK... 근데 이름이 통일되지 않음. (매우 간단해서인지 이름을 붙이지 않는 교재 저자들도 많다.) pagename? TBD
일반항판정법
[[항판정법,term_test]] 으로 할까?
n항판정법? nth-term_test (wpen)
nth term test for divergence

[[WpEn:Nth-term_test]]

= 절대수렴/조건수렴 =
[[절대수렴,absolute_convergence]]
[[조건수렴,conditional_convergence]]

정의:
 (i) [[급수,series]] $\sum |a_n|$ 이 수렴할 때,
  $\sum a_n$ 은 '''절대수렴'''한다고 한다. (absolutely convergent)
 (ii) $\sum a_n$ 은 수렴하지만 $\sum |a_n|$ 은 수렴하지 않을 때,
  $\sum a_n$ 은 '''조건수렴'''한다고 한다. (conditionally convergent)

(조건수렴=조건부수렴)

정리:
 Σa,,n,,이 절대수렴하면
 Σa,,n,,은 수렴한다.
증명:
 $0\le a_n+|a_n| \le |a_n|+|a_n|=2|a_n|$ 이므로

= 수렴반지름, 수렴반경 convergence radius =
[[수렴반지름,convergence_radius]]
'''radius of convergence'''

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405179&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 수렴반지름]]
{
[[멱급수,power_series]].. 중심으로부터 일정한 거리 내...
에서는 수렴하고, 그 밖에서는 [[발산,divergence]]

(보조정리) 멱급수
 $a(x)=\sum_n a_n x^n$
과 $r\in\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립.
 * $a(r)$ 이 수렴하면 $|s|<|r|$ 인 모든 $s$ 에 대해 $a(s)$ 는 절대수렴.
  i.e. $\sum_n |a_n s^n|$ 이 수렴.
  특히 $a(s)=\sum_n a_n s^n$ 도 수렴.
 * $a(r)$ 이 발산하면 $|s|>|r|$ 인 모든 $s$ 에 대해 $a(s)$ 는 발산.

...

수렴반지름의 계산
멱급수 $a(x)=\sum a_n x^n$ 에 대해,
 * 극한값 $\rho=\lim_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ 이 존재 ⇒ $R=\frac1\rho$
 * 극한값 $\rho=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 이 존재 ⇒ $R=\frac1\rho$
(단 $\rho=0\to R=\infty,\; \rho=\infty\to R=0$ 으로 해석)

아다마르(Hadamard) 공식 ->
 https://mathworld.wolfram.com/Cauchy-HadamardTheorem.html
 [[WpKo:코시-아다마르_정리]]
 [[WpEn:Cauchy–Hadamard_theorem]]
//먼저 limsup, liminf - [[상극한,limit_superior]] and [[하극한,limit_inferior]] 지식 필요
}
[[WpEn:Radius_of_convergence]]

= 수렴구간 interval of convergence =
[[수렴구간,convergence_interval]]
convergence_interval interval_of_convergence
'''interval of convergence'''

비교: [[수렴반지름,convergence_radius]]

수렴반지름과 수렴구간 정의는 다음도 참고
https://freshrimpsushi.github.io/posts/power-series/

[[구간,interval]]

= 수열의 수렴 vs 함수의 수렴? =
== 이산적인discrete [[수열,sequence]]의 수렴 ==
수열의 수렴

$\forall\epsilon>0,$ 자연수 $k(\epsilon)$ 가 존재해서 $n\ge k$ 일 때 $|x_n-x|<\epsilon$ 이면 수열 $\lbrace x_n \rbrace$ 은 $x$ 에 수렴한다고 하고 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ 로 표시한다.

''from https://youtu.be/pMuY9wkf6c4''
----
일반항 $a_n$ 에서 $n$ 이 [[무한대,infinity]]로 가는 [[극한,limit]]과 관련... see https://seoncheolpark.github.io/book/_book/2-2-limit.html

see also [[수열,sequence#s-3]] and [[단조수렴정리,monotone_convergence_theorem]]

== 연속적인continuous (함수? 실함수의 함수값? 그래프? 곡선??)의 수렴 ==
정의역의 변수 (보통 x)가 무한대나 -무한대로 가는 극한과 관련??? CHK
[[점근선,asymptote]] esp. 수평점근선 관련.

= Links ko =
절대 수렴과 균등 수렴(Absolute and Uniform Convergence)
https://ghebook.blogspot.com/2020/06/uniform-convergence.html

무한 급수
https://ghebook.blogspot.com/2010/10/infinite-series.html
글에서 언급하는 것:
 수렴 판정(convergence test)  // [[수렴판정법,convergence_test]]
  절대 수렴 판정(absolute convergence test)
  비교 판정(comparison test)
  비율 판정(ratio test)
  극한 비율 판정(limit comparison test)
  아벨의 판정(Abel's test)
  적분 판정(integral test)
 수렴 정리(convergence theorem)
  아벨의 정리(Abel's theorem)

= Misc = 
convergent는 '''수렴'''하는 것에 대한 형용사이기도 하지만, 명사로는.. - 작성중 

----
https://everything2.com/title/converge
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338275&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 수렴]]