[[무한급수,infinite_series]]는 [[수렴,convergence]]하는지, 아님 [[발산,divergence]]하는지 여부를 알기 위해 여러 [[판정법,test]]이 있다.

[[기하급수,geometric_series]](=등비급수)는
 $|r|<1$ 이면 수렴
 $|r|\ge1$ 이면 발산

Sub:
 일반항판정법 = n항판정법 = 발산판정법 - 가장 기본, 밑에 1.1. 참조
 [[비교판정법,comparison_test]]
 [[극한비교판정법,limit_comparison_test]]
 [[적분판정법,integral_test]]
 [[비율판정법,ratio_test]]
 [[근판정법,root_test]]
 [[교대급수판정법,alternating_series_test]]

 p급수 판정법 - [[p급수,p-series]]
  이거 적분판정법과 정확한 관계 mklink
  tmp see Google:p급수+판정법

 [[바이어슈트라스_M-판정법,Weierstrass_M-test]] - writing; tmp see Google:바이어슈트라스+판정법
 [[디리클레_판정법,Dirichlet_test]] - writing; Google:디리클레+판정법
 [[아벨_판정법,Abel_test]] - writing; Google:아벨+판정법
 [[Cauchy_test]] or [[Cauchy_convergence_test]] - writing; Google:cauchy+convergence+test ... rel. [[코시_수열,Cauchy_sequence]]
 [[코시_응집판정법,Cauchy_condensation_test]] - writing; Google:cauchy+condensation+test

[[TableOfContents]]

= 수렴 판정법 from Ivan Savov (p. 465) =

== 발산 판정법 ==
무한급수가 수렴하기 위한 유일한 방법은 큰 n에 대해 수열이 0으로 가는 것.

''즉 수열의 극한이 0이 아니면 급수는 무조건 발산. CHK''

----
[[WpKo:일반항_판정법]] (term test)
AKA n항 판정법
코시 수렴 판정법의 특별한 경우임.

[[Libre:일반항_판정법]]
 "일반항 판정법(limit term test, term test)는 일반항을 이용해 수열의 수렴 여부를 판정하는 정리" - Google:limit+term+test 라는 말은 안 쓰이는 듯

[[WpEn:Term_test]]
 = https://en.wikipedia.org/wiki/Term_test

== 절대수렴 (and 조건수렴) ==
만약 $\sum_n|a_n|$ 이 수렴한다면 $\sum_n a_n$ 또한 수렴한다.
$\sum_n|a_n|$ 이 수렴하면 급수 $\sum_n a_n$ 은 '절대수렴'한다고 말한다.
$\sum_n b_n$ 은 수렴하지만 $\sum_n |b_n|$ 은 발산하면 급수 $\sum_n b_n$ 은 '조건수렴'한다고 말한다.

== 교대급수 판정법 ==
항들의 절대값이 감소 $(|a_n|>|a_{n+1}|)$ 하면서 $0$ 으로 가는 $(\lim_{n\to\infty}a_n=0)$ 수열 $a_n$ 의 교대급수는 수렴한다. 예를 들어 급수
 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots$
은 감소하는 교대급수로, $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$ 이기 때문에 수렴한다.

== 적분 판정법 ==
만약 적분 $\int_a^{\infty}f(x)dx$ 가 유한하면 무한급수 $\sum_n f(n)$ 은 수렴한다.
만약 적분 $\int_a^{\infty}f(x)dx$ 가 발산하면 무한급수 $\sum_n f(n)$ 또한 발산한다.

== p>1이면 p-급수는 수렴 ==
[[p급수,p-series]] $a_n=\frac1{n^p}$ 의 수렴 조건은 적분판정법을 통해 얻을 수 있다.
$p>1$ 이면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}$ 은 수렴하고,
$p\le 1$ 이면 발산한다.
$p=1$ 은 발산하는 [[조화급수,harmonic_series]] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$ 에 해당한다는 점을 주의하라.

== 직접 비교 판정법 ==
때때로 급수 $\sum_n a_n$ 의 수렴 특성은, 수렴 특성이 알려진 다른 급수 $\sum_n b_n$ 과의 비교를 통해 이해될 수 있다. 한 가지 방법은 각 항의 값을 직접 비교하는 것이다. 이를 통해 다음과 같은 결론을 도출할 수 있다.
 * 만약 모든 $n$ 에 대해 $a_n\le b_n$ 이고, $\sum_n b_n$ 이 수렴하면, $\sum_n a_n$ 도 수렴한다.
 * 만약 모든 $n$ 에 대해 $a_n\ge b_n$ 이고, $\sum_n b_n$ 이 발산하면, $\sum_n a_n$ 도 발산한다.
첫 번째 결론은 압착원리로부터 나온 결과이다. $b_n$ 이 항상 $a_n$ 보다 크고, $\sum_n b_n$ 이 수렴하기 때문에 $\sum_n a_n$ 도 수렴해야 한다.
두 번째 결론은 이 논리를 역으로 사용한다. $\sum_n b_n=\infty$ 이고 $a_n\ge b_n$ 이기 때문에 또한 $\sum_n a_n=\infty$ 이어야 한다.

== 극한 비교 판정법 ==
$n$ 번째 항의 상대적인 크기를 비교하여 급수를 비교할 수도 있다.
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ 이라고 가정하면 다음과 같은 결론을 도출할 수 있다.
 * 만약 $0<L<\infty$ 이면 $\sum_n a_n$ 과 $\sum_n b_n$ 은 모두 수렴하거나 모두 발산한다.
 * 만약 $L=0$ 이고 $\sum_n b_n$ 이 수렴하면 $\sum_n a_n$ 도 수렴한다.
 * 만약 $L=\infty$ 이고 $\sum_n b_n$ 이 발산하면 $\sum_n a_n$ 도 발산한다.

== n제곱근 판정법 ==
$r$ 이 $r=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ 으로 정의될 때,
$r>1$ 이면 $\sum_n a_n$ 이 발산하고,
$r<1$ 이면 수렴한다.
만약 $r=1$ 이면, 판정법은 결정적이지 않다.

관련: [[거듭제곱근,nth_root]]
== 비율 판정법 ==
가장 유용한 수렴 판정법. 수열에서 이어지는 항들의 비율의 극한을 계산한다.
 $R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
$R<1$ 이면 급수 $\sum_n a_n$ 은 수렴하고,
$R>1$ 이면 $\sum_n a_n$ 은 발산한다.
만약 $R=1$ 이면, 이 판정법은 결정적이지 않다.

= 코시_판정법 (이사감, 삭제) =

= 판정법의 요약 =
일반항 판정법:
 $a_n\to 0$ 이 아니면, 급수는 발산한다.

[[기하급수,geometric_series]]:
 $|r|<1$ 이면 $\textstyle\sum ar^n$ 은 수렴한다.
 $|r|>1$ 이면 급수는 발산한다.

[[p급수,p-series]]:
 $p>1$ 이면 $\textstyle\sum 1/n^p$ 은 수렴한다. 그렇지 않으면 발산한다.

음수항을 갖지 않는 급수:
 [[적분판정법,integral_test]], 비판정법([[비율판정법,ratio_test]]), [[근판정법,root_test]]을 사용한다. 수렴여부를 아는 급수와 비교하는 [[비교판정법,comparison_test]] 또는 [[극한비교판정법,limit_comparison_test]]을 사용한다.

음수항을 갖는 급수:
 $\textstyle\sum|a_n|$ 이 비판정법(비율판정법), 근판정법, 또는 다른 판정법에 의해 수렴하면 [[절대수렴,absolute_convergence]]하는 급수는 수렴하므로 $\textstyle\sum a_n$ 은 수렴한다.

[[교대급수,alternating_series|교대급수]]:
 $\textstyle\sum a_n$ 이 [[교대급수판정법,alternating_series_test]]의 조건을 만족시키면 $\textstyle\sum a_n$ 은 수렴한다.

(Thomas 13e ko chap8.6(교대급수와 조건수렴)의 마지막 box)
= Sources =
몇 개는 http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=293242 11.6 절대수렴과 비판정법과 근판정법 ...에서

see also [[RR:판정법,test]]

= links ko =
https://ghebook.blogspot.com/2010/10/infinite-series.html

해석학의 여러가지 급수판정법 총정리
Series convergence test
https://freshrimpsushi.github.io/posts/series-convergence-test/

= links en =
https://everything2.com/title/infinite+series 여기 다섯번째 drdave.

----
[[Libre:무한급수의_수렴판정법]]
[[WpKo:급수_(수학)#수렴_판정법]] (summary)
[[WpKo:수렴판정법]]
[[WpEn:Convergence_tests]]
https://mathworld.wolfram.com/ConvergenceTests.html

Up:
 [[급수,series]] > [[무한급수,infinite_series]]
 [[수렴,convergence]]
 [[판정법,test]]