서로 다른 n개에서 r개를 택하여 일렬로 배열하는 것. (n≥r)

||비복원추출 ||중복 × (불허) ||'''순열'''     ||,,n,,P,,r,, ||
||복원추출   ||중복 ○ (허락) ||'''중복순열''' ||,,n,,Π,,r,,=n^^r^^ ||

= 순열의 수 계산법 =
서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하는 순열의 수는
${}_{n}\mathrm{P}_{r}=\underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(r-1))}_{r\text{ numbers}}\quad\quad(0\lt r\le n)$

[[계승,factorial]]을 이용해 표현하면
${}_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\quad\quad(0\le r\le n)$

이유는,
$\frac{n!}{(n-r)!}$
 $=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)(n-r)(n-r-1)\cdots 2\cdot 1}{(n-r)(n-r-1)\cdots 2\cdot 1}$
 $=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$
 $=n(n-1)(n-2)\cdots(n-(r-1))$
 $={}_{n}\mathrm{P}_{r}$

그 외 알아두면 좋은 성질들

${}_{n}\mathrm{P}_{n}=n!$

$\left({}_{n}\mathrm{P}_{n}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}\right)$

${}_{n}\mathrm{P}_{0}=1$

$\left({}_{n}\mathrm{P}_{0}=\frac{n!}{(n-0)!}\right)$

= TI-Nspire =
nPr(n,r)

= 원순열 =
서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 수는
$\frac{n!}{n}=(n-1)!$

= 중복순열 =
${}_n\mathrm{\Pi}_r$ 기호는 한국에서만 쓰나?

= 같은 것이 있는 순열 =
$n$ 개 중 $p$ 개, $q$ 개, $r$ 개, …, $s$ 개가 각각 같은 것일 때,
이들을 일렬로 나열하는 순열의 수는
 $\frac{n!}{p!\times q!\times r!\times \cdots \times s!}$
단, $n=p+q+r+\cdots+s$

ex1. 빨간 공 3개, 초록 공 2개, 파란 공 2개를 일렬로 배열하는 방법의 수
 $\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!}=210$

ex2. tomorrow의 8개 알파벳을 일렬로 나열하는 경우의 수는?
sol. o가 세 개, r이 두 개 있으므로
 $\frac{8!}{2!\cdot 3!}=3360$

AKA '''동자순열, permutation of multisets'''

= 완전순열 complete permutation =
완전순열 complete_permutation = 교란 derangement
rel. [[준계승,subfactorial]] - curr see [[계승,factorial]]
via [[WpKo:완전순열]]

= 교대치환, 교대순열 alternating permutation =
ALSOIN [[치환,permutation]]

https://mathworld.wolfram.com/AlternatingPermutation.html
https://everything2.com/title/alternating+permutation

지그재그 zigzag 와....
zig_number = secant_number = Euler_number (odd alternating permutation number)
zag_number = tangent_number (even alternating permutation number)
ref.
https://mathworld.wolfram.com/SecantNumber.html
https://mathworld.wolfram.com/TangentNumber.html
https://mathworld.wolfram.com/EulerNumber.html
https://mathworld.wolfram.com/EulerZigzagNumber.html
https://mathworld.wolfram.com/EntringerNumber.html

= factorial 과의 관계 =
[[계승,factorial]]
순열 = 하강계승 falling_factorial. (namu) QQQ 항상? 완전동의어인지 확실히

= tmp 1 =
// from Namu:순열 ; chk
aka [[falling_factorial]] (rel. [[계승,factorial]])
단어 permutation은 [[군론,group_theory]](curr [[군,group]]) 에서 [[치환,permutation]]을 뜻하며, 치환의 개수는 '''순열'''로 표현 가능.

= 소스, Prg Lang Impl =
http://rosettacode.org/wiki/Permutations
http://rosettacode.org/wiki/Permutations_with_repetitions

----
[[확률,probability]]
[[치환행렬,permutation_matrix]]과의 관계? tbw.

mklink
같은 영단어
[[치환,permutation]] - writing
 대체로 [[군,group]]론에서 치환? [* Namu:순열 각주 "이 단어는 군론에서 치환을 의미하며"]

Compare: [[조합,combination]]

----
Twins:
[[WpEn:Permutation]]
https://mathworld.wolfram.com/Permutation.html
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405187&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 순열]]
https://everything2.com/title/permutation
[[Namu:순열]]

Up: [[순열과_조합_비교]]