스칼라곱,scalar_product,dot_product

$\vec{a}$$\vec{b}$스칼라곱 표기는 $\vec{a}\cdot\vec{b}$
벡터,vector이항연산,binary_operation해서 스칼라,scalar 결과가 나옴

2차원의 경우만 보면
$(a_1, a_2)\cdot(b_1, b_2) = a_1 b_1 + a_2 b_2$

In 3-space the dot product of two vectors $\vec{a}=\langle a_1,a_2,a_3 \rangle$ and $\vec{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle$ is the number
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

n차원의 경우도 쉽게 유추 가능, 내적,inner_product 맨 위 참조

표기 문자:
두 벡터 사이에 가운뎃점
TeX에선 \cdot

앞에 행벡터,row_vector 뒤에 열벡터,column_vector를 쓰는 행렬곱,matrix_product(rel. 행렬곱셈,matrix_multiplication)으로도 많이 표기/표현됨. 그렇게 해야 선형대수,linear_algebra적으로 나타내기+다루기 편리하기 때문인데 이에 대해 tbw.
ex. $\vec{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle,\,\vec{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle$ 이면
$\vec{a}\cdot\vec{b}=[a_1\;a_2\;a_3]\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}=[a_1\;a_2\;a_3]\mathbb{1}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}$
여기서 $\mathbb{1}$$ij$ 원소가 크로네커_델타,Kronecker_delta항등행렬,identity_matrix, $\mathbb{1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$




1. 성질

교환법칙,commutativity 성립
$\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{x}$
분배법칙,distributivity 성립
$\vec{x}\cdot(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}$

Dot product각,angle에 대한 정보를 제공한다.
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
따라서,
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\theta$ 는 두 벡터 사이의 각,angle이므로 $0\le\theta\le\pi$



$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\ge 0$
pf. 1. $=|\vec{a}|^2\cos 0=|\vec{a}|^2$
pf. 2. 각 성분들의 제곱의 합이므로 당연히 0 이상



$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$ 자기 자신과의 내적은 그 벡터의 크기의 제곱과 같음
$\vec{a}\cdot\vec{a}\ge0$ 자기 자신과의 내적은 항상 0 또는 양의 실수
$\vec{a}\cdot\vec{a}=0\Leftrightarrow \vec{a}=\vec{0}$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$ 내적의 교환법칙,commutativity
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$ 내적과 덧셈에 대한 분배법칙,distributivity
$(k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$ 실수배와 내적에 대한 결합법칙,associativity


Properties of the Dot Product (Stewart)에서 위에 빠진 거 추가

$(c\vec{a})\cdot\vec{b}=c(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(c\vec{b})$
$\vec{0}\cdot\vec{a}=0$ 영벡터와 임의의 벡터의 dot product는 실수 0

2. 표기?? TOCLEANUP

표기가 여럿일 수 있는데, 벡터의 길이(magnitude? length??)를 절대값,absolute_value(노름?) 으로 표기하기도 하고
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

삼각형이라면 이렇게 이런관례로 표현하기도 하는것같던데 맞는건가
$\vec{a}\cdot\vec{b} = AB\cos\theta$


$\vec{A}\cdot\vec{B} \overset{\triangle}= AB\cos\theta_{AB}$
https://i.imgur.com/rVxlyWu.png


$\vec{A}\cdot\vec{A}=A^2$
$A=\sqrt{\vec{A}\cdot\vec{A}}$

이 책의 벡터곱,vector_product,cross_product도 여기에 적으면,
$\vec{A}\times\vec{B} \overset{\triangle}= \vec{a_n} |AB\sin\theta_{AB}|$
https://i.imgur.com/yHqiKHt.png






2.1. 두 벡터가 이루는 각

(영벡터가 아닌) 두 벡터가 수직
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
$\cos\frac{\pi}2=0$

$\vec{a}\cdot\vec{b}>0$ 사잇각 예각
$\vec{a}\cdot\vec{b}<0$ 사잇각 둔각



평행 조건
$\vec{a}\parallel\vec{b}\;\Longleftrightarrow\;\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm|\vec{a}||\vec{b}|$
수직 조건
$\vec{a}\bot\vec{b}\;\Longleftrightarrow\;\vec{a}\cdot\vec{b}=0$


사잇각(각,angle)에 따른 내적의 부호,sign

사잇각의 범위 내적의 부호
$0\le\theta<\frac{\pi}{2}$ $\vec{a}\cdot\vec{b}>0$
$\theta = \frac{\pi}{2}$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
$\frac{\pi}{2}<\theta\le\pi$ $\vec{a}\cdot\vec{b}<0$

3. 벡터곱, Ivan Savov p212

두 벡터 $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z),\,\vec{w}=(w_x,w_y,w_z)$ 를 가정.
더하는 연산 결과가 $(v_x+w_x,v_y+w_y,v_z+w_z)$ 이므로 곱은 $(v_xw_x,v_yw_y,v_zw_z)$ 라고 생각할 수 있겠으나, 이렇지는 않음.

내적은 두 벡터를 입력하여 하나의 실수를 출력하는 연산.
$\cdot\,:\,\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$
대수 공식
$\vec{v}\cdot\vec{w}\equiv v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z$
를 사용하거나, 기하학 공식
$\vec{v}\cdot\vec{w}\equiv ||\vec{v}|| \, ||\vec{w}|| \cos(\varphi)$
를 사용할 수 있다. $\varphi$ 는 두 벡터 사이의 각도이다. 즉 내적의 값은 두 벡터의 길이,length와 사이 각도의 코사인,cosine값에 의존한다.
위 두 공식을 결합하여 다음 공식을 얻을 수 있다.
$\cos(\varphi)=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{||\vec{v}|| \, ||\vec{w}||}=\frac{v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z}{||\vec{v}|| \, ||\vec{w}||},$
$\varphi=\cos^{-1}(\cos(\varphi))$
기하학적 인자 $\cos(\varphi)$ 는 두 벡터의 상대적인 방향,direction에 의존한다.
  • 두 벡터가 같은 방향을 가리킨다면, $\cos(\varphi)=\cos(0\textdegree)=1$ 이고 따라서 $\vec{v}\cdot\vec{w}=||\vec{v}||\,||\vec{w}||$ 이다.
  • 두 벡터가 수직이라면, $\cos(\varphi)=\cos(90\textdegree)=0$ 이고 따라서 $\vec{v}\cdot\vec{w}=0$ 이다.
  • 두 벡터가 정확히 서로 반대 방향을 가리킨다면, $\cos(\varphi)=\cos(180\textdegree)=-1$ 이고 따라서 $\vec{v}\cdot\vec{w}=-||\vec{v}||\,||\vec{w}||$ 이다.

외적은 두 벡터를 입력하여 다른 벡터를 출력하는 연산.
$\times\,:\,\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$
i×j=k 등등, j×i=-k 등등(교환법칙 성립하지 않는다는 것), 공식, 사이 각의 사인값에 비례한다는 것, a×b는 a와 b 모두에 수직한다는 것, 오른손 법칙 등 언급. 생략.
'외적에 대한 훌륭한 삽화'로 제시된 그림: https://1ucasvb.tumblr.com/post/76812811092/given-two-vectors-in-three-dimensions-this-is

5. Twins & Misc

AKA 점곱, 도트곱

See also 내적,inner_product
엄밀히는 다르지만 같은 의미로 쓰일 때가 or 동일한 경우가 많음

'3중 스칼라곱'(=스칼라삼중곱)에 대해선 curr see 삼중곱,triple_product, later see 스칼라삼중곱,scalar_triple_product

스칼라곱의 다른 뜻은 ... 이른바 '상수배', '실수배'라 불리는.. (쉬운 개념이라 페이지가 아직 없는데)
저건 pagename '스칼라배'로 할까? TBD
scalar_product
scalar_multiplication
scalar_multiple
이건 벡터,vector, 행렬,matrix등에 스칼라,scalar를 곱해서 scale을 조절하는(WpEn:Scaling_(geometry))... 영,zero을 곱하는 것은 영벡터/영행렬로 만드는, 음수를 곱하는 것은 벡터의 경우 방향,direction을 반대로 하는, 특히 -1을 곱하는 것은 덧셈의 역원,inverse_element을 만드는 ... 그거
rel. 곱셈,multiplication 곱,product 상수,constant 스칼라,scalar
(tmp) Srch:scalar_multi
WpKo:스칼라_곱셈
WpEn:Scalar_multiplication
TBW


Related:
Dot product, scalar product
dot product ≡ scalar product이며, inner product은 넓은 범위의 수학에서는 다를 수도 있나보다?
Yes, later see 내적공간,inner_product_space, curr see 공간,space(내적공간)



Related:
Twins: