#noindex
AKA '''σ-algebra, σ-field, 시그마-대수, 시그마-체'''

[[측도론,measure_theory]]에서 매우 기초적이고 중요한 개념임. rel [[측도,measure]] [[가측집합,measurable_set]]( RR 가측집합,measurable_set )

Sub:
 [[보렐_시그마대수,Borel_sigma-algebra]] ... aka [[보렐_대수,Borel_algebra]]
{
//mw
[[집합,set]]의 [[위상,topology]]에 관련된 [[시그마대수,sigma-algebra]].

Twins:
https://mathworld.wolfram.com/BorelSigma-Algebra.html
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Borel_Sigma-Algebra
https://freshrimpsushi.github.io/posts/borel-sigma-algebra-borel-measurable-space/

Up: [[대수학,algebra]] > [[보렐_대수,Borel_algebra]] and [[시그마대수,sigma-algebra]] ?
 (Borel_sigma-algebra를 줄여 Borel_algebra 간단히 부르기도 함. - freshrimp) - QQQ 동의어인지 chk
  WpEn:Borel_set "known as the Borel algebra or Borel σ-algebra." 보렐대수는 항상 [[시그마대수,sigma-algebra]]? chk

Google:borel+sigma+algebra
}
 [[cylindrical_sigma-algebra]] w
  {
  cylindrical σ-algebra
  AKA
  product σ-algebra

  MKL
  [[cylinder_set]] w
   {
   cylinder set
   원기둥집합 ?

   Sub:
   [[cylinder_set_measure]] w
    {
    cylinder set measure

    KmsE:"cylinder set measure"
    [[측도,measure]]
    }

   KmsE:"cylinder set" 보면 통집합 원주집합 원기둥집합 등 통일 안 되어 있음. wk는 WpKo:기둥_집합 ... 이대로라면 원통집합 도 가능?
   ... Ggl:"cylinder set"
   }

  WpEn:Cylindrical_σ-algebra
  ...Ggl:"cylindrical σ-algebra" Ggl:"product σ-algebra"
  }

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// 수백


----
//mw

[[집합,set]] $X$ 가 있으면, '''σ-algebra''' $F$ 는 $X$ 의 [[부분집합,subset]]s들의 nonempty collection(하나 이상의 모음?) 이다. 다음 세 조건을 만족하는.
// F가 set이란 말이 없고 collection이라 해서 집합기호를 쓰지 않음. 나중에 정확히 reread
 1. $X$ is in $F$
 1. If $A$ is in $F,$ then $A^c$ is in $F$
 1. 만약 $A_n$ 이 $F$ 의 [[원소,element]]들의 [[수열,sequence]]이면, $A_n$ 의 [[합집합,union]] is in $F$
만약 $S$ 가 $X$ 의 부분집합들의 any collection이라면, $S$ 를 포함한 '''σ-algebra'''를 언제나 찾을 수 있다 - 바로 $X$ 의 [[멱집합,power_set]].
$X$ 를 포함한 모든 '''σ-algebra'''들의 [[교집합,intersection]]을 take하면, we obtain the smallest such '''σ-algebra'''. //일단 번역 않고 놔둠.
'Smallest σ-algebra containing S'를, 'σ-algebra generated by S'라고 부른다.

----
mklink
[[집합,set]] [[체,field]]랑 관련이 있는듯. 이름조차도 AKA sigma-field
특히 Borel_field, Borel_set - curr see [[체,field#s-3]]

[[측도,measure]]...

AKA '''Boolean σ-algebra'''. [[불_대수,Boolean_algebra]]에서 특정 조건을 만족하는.

// (아주 대충) 네가지임. 정확히 rewrite.
 * 자기자신을 포함
 * closed under complement
 * closed under union
 * closed under intersection

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tmp from http://contents2.kocw.or.kr/KOCW/html/2017/kumoh/limwansu091/1/default.htm 5:30
{
Field (ℱ) : a set of subsets of Ω

ℱ is assumed to be a '''σ-algebra''', meaning it satisfies the following axioms
 * Ω ∈ ℱ
 * If A ∈ ℱ then A^^C^^ ∈ ℱ
 * If A, B ∈ ℱ then A ∪ B ∈ ℱ. Also, if A,,1,,, A,,2,,, … is a sequence of elements in ℱ then
  $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}\text{ and }\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}$
}

<<TableOfContents>>

= Sub: Borel sigma algebra =
mv to [[보렐_시그마대수,Borel_sigma-algebra]]

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405108&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 보렐 집합]] # 보렐 대수
{
.... "이때 열린 집합과 닫힌 집합을 모두 포함하는 가장 작은 시그마-대수를 보렐 대수라고 한다."

(def.) "[[보렐_대수,Borel_algebra]]의 원소를 [[보렐_집합,Borel_set]]이라고 한다."
}

[[보렐_대수,Borel_algebra]] : [[열린집합,open_set]]과 [[닫힌집합,closed_set]]을 모두 포함하는 가장 작은 [[시그마대수,sigma-algebra]]
보렐_대수 Borel_algebra = 보렐_시그마대수 Borel_sigma-algebra 인듯.....? chk

// tmp from [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5668853&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 시그마 대수]] section 3.
{
"[[위상공간,topological_space]]에서 모든 [[열린집합,open_set]]을 포함하는 가장 작은 시그마 대수를 보렐 시그마 대수(Borel σ-algebra)라고 한다. 보렐 시그마 대수의 원소를 [[보렐_집합,Borel_set]]이라고 한다."
}

= (so TODO) MKL: Borel_set Borel_algebra etc =

= 이름의 sigma에 대한 설명: via [[WpKo:모형_이론#보편_대수학]] at [[Date(2023-10-13T07:44:53)]] =
{
분야는
(모형이론 모델이론 모형론 모델론 model_theory WtEn:model_theory ) > ( 보편대수 보편대수학 universal_algebra [[WpKo:보편_대수학]] WtEn:universal_algebra WpSp:Universal_algebra x(2023-10에 없음, 2007년 지워짐) WpEn:Universal_algebra )관련임.

"보편 대수학의 주요 개념은 부호수(signature) σ와 그것에 의해 규정되는 구조인 σ-대수(σ-algebra)이다. 예시는...."

so rel:
[[구조,structure]]
esp 수학구조/수학적구조 mathematical_structure ( [[WtEn:mathematical_structure]] [[WpEn:Mathematical_structure]] [[WpKo:수학적_구조]] [[WpJa:数学的構造]]  ... Ndict:"수학 구조" )
[[부호수,signature]]? KmsE:signature KmsK:부호수

즉 structure에는 signature가 붙을 수 있고 그 중 하나가 'sigma'? 아님 혹시 sigma가 signature의 앞글자를 딴 건지? CHK

... Ggl:보편대수학+부호수 Ggl:universal.algebra+signature
}

= tmp bmks ko =
https://jrc-park.tistory.com/290?category=487573
 집합 X에 대한 '''σ-algebra'''는, X의 부분집합들의 collection Σ이며 다음 네 조건을 만족하는 것.
 * X 자신을 포함
 * closed under complement ([[여집합,complement]] 연산에 닫혀있음)
 * closed under union (셀 수 있는 횟수의 [[합집합,union]] 연산에 닫혀있음?)
 * closed under countable intersection (셀 수 있는 횟수의 [[교집합,intersection]] 연산에 닫혀있음?)
 rel. [[닫힘성,closedness]]
https://elecs.tistory.com/253
https://hanmaths.tistory.com/36 - 정의
https://hanmaths.tistory.com/40 - 필요충분조건
https://hanmaths.tistory.com/42 - 예
[[Namu:측도#s-2.1]] - [[측도,measure]]를 설명하기 직전에 정의함.
https://elementary-physics.tistory.com/123?category=860181 - 마지막부분 Advanced Topics
https://blog.naver.com/mykepzzang/222197904497 - σ-(시그마-)로 이름붙여진 게 무슨 뜻인지 설명

= Bmks ko =
https://freshrimpsushi.github.io/posts/sigma-algebra-and-measurable-space/

= Bmks en =
Mathonline: Measure Theory (측도론, measure_theory, [[측도,measure]] 이론 설명)에서 > 2. Algebras of Sets > σ-Algebras of Sets 참조
http://mathonline.wikidot.com/measure-theory

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Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5668853&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 시그마 대수]]
https://mathworld.wolfram.com/Sigma-Algebra.html
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Sigma-Algebra
[[WpEn:σ-algebra]]
[[WpKo:시그마_대수]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra_of_sets (2.) (https://encyclopediaofmath.org/wiki/Sigma-algebra 는 Algebra of sets로 redirect.)
https://everything2.com/title/%2526sigma%253B+algebra
[[WpJa:完全加法族]] - 일본어는 '완전가법족'으로 번역.
https://ncatlab.org/nlab/show/sigma-algebra

[[https://everything2.com/title/%2526sigma%253B+algebra]]
https://en.citizendium.org/wiki/Sigma_algebra

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Up: [[불_대수,Boolean_algebra]]