쌍곡선함수,hyperbolic_function

$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
$\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$

$\operatorname{csch} x=\frac1{\sinh x}$
$\operatorname{sech} x=\frac1{\cosh x}$
$\coth x=\frac1{\tanh x}$

쌍곡선함수라는 이름은
$X=a\cosh x,\quad Y=a\sinh x$
가 쌍곡선,hyperbola $X^2-Y^2=a^2$ 의 파라미터parameter라는 데에서 유래되었다.

쌍곡선의 매개화:
$x=\cosh t,\;y=\sinh t$
라고 하면 좌표평면 위의 점 $(x,y)$ 의 자취는 쌍곡선
$x^2-y^2=1,\quad x\ge1$
이다.

cosh의 그래프는 현수선,catenary이다.

관련:
쌍곡선,hyperbola
역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function



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1. 주요 성질

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1.1. 삼각함수,trigonometric_function와 비슷한 성질

$\sinh 0=0$
$\cosh 0=1$
$\tanh 0=0$

$\sinh(-x)=-\sinh x$
$\cosh(-x)=\cosh x$
$\tanh(-x)=-\tanh x$



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1.2. 약간 다른 것 (CLEANUP)


tanh 그래프는 arctan과 비슷, -1 < tanh x < 1, 수평점근선이 y=±1임.
$\lim_{\small x\to\infty}\tanh x=1$
$\lim_{\small x\to-\infty}\tanh x=-1$


성질/정리

Hyperbolic identities

이하 두 식은 정의에서 쉽게 나온다.
$\cosh x+\sinh x=e^x$
$\cosh x-\sinh x=e^{-x}$

이 두 식을 곱하면,
$\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$
i.e.
$\sinh^2 x-\cosh^2 x = -1$

양변을 $\cosh^2 x$ 로 나누면,
$1-\tanh^2x=\operatorname{sech}^2x$
양변을 $\sinh^2 x$ 로 나누면,
$\operatorname{coth}^2 x-1=\operatorname{csch}^2 x$


$\sinh(x+y)=\sinh x\,\cosh y+\cosh x\,\sinh y$
$\cosh(x+y)=\cosh x\,\cosh y+\sinh x\,\sinh y$
$\tanh(x+y)=\frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\,\tanh y}$

$\sinh 2x=2\,\sinh x\,\cosh x$
$\cosh 2x=\cosh^2 x + \sinh^2 x$ 이하 나무위키발이므로 CHK
$=2\sinh^{2}{x}+1$
$=2\cosh^{2}{x}-1$
$\tanh 2x =\frac{2\tanh{x}}{1-\tanh^{2}{x}}$

$\tanh^2 x + \operatorname{sech}^2 x = 1$
$\coth^2 x - \operatorname{csch}^2 x = 1$


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1.3. 합·차 ↔ 곱 공식

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1.4. 미적분 관련 성질

(See also 미적분,calculus)

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1.4.1. 미분


$\frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x$

$\frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x$

$\frac{d}{dx}\left(\tanh x\right) =\operatorname{sech}^2 x$

$\frac{d}{dx}(\operatorname{csch}x)=-\operatorname{csch}x\cdot\coth x$

$\frac{d}{dx}(\operatorname{sech}x)=-\operatorname{sech}x\cdot\tanh x$

$\frac{d}{dx}(\coth x)=-\operatorname{csch}^2 x$

sinh와 cosh는 서로 주고받는 사이.
이 표 왼쪽 6개의 미분은 각각 해당하는 오른쪽.
$\sinh x$ $\operatorname{csch} x$ $\cosh x$ $-\operatorname{csch} x\coth x$
$\cosh x$ $\operatorname{sech} x$ $\sinh x$ $-\operatorname{sech} x\tanh x$
$\tanh x$ $\coth x$ $\operatorname{sech}^2 x$ $-\operatorname{csch}^2 x$

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1.4.2. 적분

$\int\sinh xdx=\cosh x+C$

$\int\cosh xdx=\sinh x+C$

$\int\tanh x dx=\ln(\cosh x)+C$

$\int{\rm csch}x dx=TBW$

$\int{\rm sech}x dx=$

$\int\coth x dx=\ln|\sinh x|+C$


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2. 복소수, 삼각함수와의 관계

TBW
이 문단 나무위키발이 많으므로 CHK

이 사실들은
$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ (오일러_공식,Euler_formula)
에서 유도.

$\sinh(ix)=i\sin x$
$\cosh(ix)=\cos x$
$\tanh(ix)=i\tan x$

$\sinh x=-i\sin(ix)$
$\cosh x=\cos(ix)$
$\tanh x=-i\tan(ix)$

증명은 오일러_공식,Euler_formula을 사용.
$\sinh(ix)=\frac12(e^{ix}-e^{-ix})=\frac12(\cos x+i\sin x-(\cos x-i\sin x))=i\sin x$
$\cosh(ix)=\frac12(e^{ix}+e^{-ix})=\frac12(\cos x+i\sin x+\cos x-i\sin x)=\cos x$
$\tanh(ix)=\frac{\sinh(ix)}{\cosh(ix)}=\frac{i\sin(x)}{\cos(x)}=i\tan x$
etc. CHK.


$\cos(ix)=\cosh x$
$\sin(ix)=i\sinh x$



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3. 지수함수와의 관계

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4. 테일러 급수

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  • [1] 강우석 2021-03-18 1:12m