$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ $\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$ $\operatorname{csch} x=\frac1{\sinh x}$ $\operatorname{sech} x=\frac1{\cosh x}$ $\coth x=\frac1{\tanh x}$ 쌍곡선함수라는 이름은 $X=a\cosh x,\quad Y=a\sinh x$ 가 [[쌍곡선,hyperbola]] $X^2-Y^2=a^2$ 의 파라미터parameter라는 데에서 유래되었다. ## 서울대기초수학학습교재 p175 쌍곡선의 매개화: $x=\cosh t,\;y=\sinh t$ 라고 하면 좌표평면 위의 점 $(x,y)$ 의 자취는 [[쌍곡선,hyperbola|쌍곡선]] $x^2-y^2=1,\quad x\ge1$ 이다. cosh의 그래프는 [[현수선,catenary]]이다. 관련: [[쌍곡선,hyperbola]] [[역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function]] [[TableOfContents]] = 주요 성질 = == [[삼각함수,trigonometric_function]]와 비슷한 성질 == $\sinh 0=0$ $\cosh 0=1$ $\tanh 0=0$ $\sinh(-x)=-\sinh x$ $\cosh(-x)=\cosh x$ $\tanh(-x)=-\tanh x$ == 약간 다른 것 (CLEANUP) == tanh 그래프는 arctan과 비슷, -1 < tanh x < 1, 수평점근선이 y=±1임. $\lim_{\small x\to\infty}\tanh x=1$ $\lim_{\small x\to-\infty}\tanh x=-1$ 성질/정리 Hyperbolic identities 이하 두 식은 정의에서 쉽게 나온다. $\cosh x+\sinh x=e^x$ $\cosh x-\sinh x=e^{-x}$ 이 두 식을 곱하면, $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$ i.e. $\sinh^2 x-\cosh^2 x = -1$ 양변을 $\cosh^2 x$ 로 나누면, $1-\tanh^2x=\operatorname{sech}^2x$ 양변을 $\sinh^2 x$ 로 나누면, $\operatorname{coth}^2 x-1=\operatorname{csch}^2 x$ ---- $\sinh(x+y)=\sinh x\,\cosh y+\cosh x\,\sinh y$ $\cosh(x+y)=\cosh x\,\cosh y+\sinh x\,\sinh y$ $\tanh(x+y)=\frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\,\tanh y}$ $\sinh 2x=2\,\sinh x\,\cosh x$ $\cosh 2x=\cosh^2 x + \sinh^2 x$ 이하 나무위키발이므로 CHK $=2\sinh^{2}{x}+1$ $=2\cosh^{2}{x}-1$ $\tanh 2x =\frac{2\tanh{x}}{1-\tanh^{2}{x}}$ $\tanh^2 x + \operatorname{sech}^2 x = 1$ $\coth^2 x - \operatorname{csch}^2 x = 1$ see also https://freshrimpsushi.tistory.com/1749 == 합·차 ↔ 곱 공식 == see https://freshrimpsushi.tistory.com/1750 == 미적분 관련 성질 == (See also [[미적분,calculus]]) === 미분 === goto [[삼각함수_미분표]] $\frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x$ $\frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x$ $\frac{d}{dx}\left(\tanh x\right) =\operatorname{sech}^2 x$ $\frac{d}{dx}(\operatorname{csch}x)=-\operatorname{csch}x\cdot\coth x$ $\frac{d}{dx}(\operatorname{sech}x)=-\operatorname{sech}x\cdot\tanh x$ $\frac{d}{dx}(\coth x)=-\operatorname{csch}^2 x$ sinh와 cosh는 서로 주고받는 사이. ---- 이 표 왼쪽 6개의 미분은 각각 해당하는 오른쪽. ||$\sinh x$ ||$\operatorname{csch} x$ ||$\cosh x$ ||$-\operatorname{csch} x\coth x$ || ||$\cosh x$ ||$\operatorname{sech} x$ ||$\sinh x$ ||$-\operatorname{sech} x\tanh x$ || ||$\tanh x$ ||$\coth x$ ||$\operatorname{sech}^2 x$ ||$-\operatorname{csch}^2 x$ || === 적분 === $\int\sinh xdx=\cosh x+C$ $\int\cosh xdx=\sinh x+C$ $\int\tanh x dx=\ln(\cosh x)+C$ $\int{\rm csch}x dx=TBW$ $\int{\rm sech}x dx=$ $\int\coth x dx=\ln|\sinh x|+C$ = 복소수, 삼각함수와의 관계 = TBW 이 문단 나무위키발이 많으므로 CHK 이 사실들은 $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ([[오일러_공식,Euler_formula]]) 에서 유도. $\sinh(ix)=i\sin x$ $\cosh(ix)=\cos x$ $\tanh(ix)=i\tan x$ $\sinh x=-i\sin(ix)$ $\cosh x=\cos(ix)$ $\tanh x=-i\tan(ix)$ 증명은 [[오일러_공식,Euler_formula]]을 사용. $\sinh(ix)=\frac12(e^{ix}-e^{-ix})=\frac12(\cos x+i\sin x-(\cos x-i\sin x))=i\sin x$ $\cosh(ix)=\frac12(e^{ix}+e^{-ix})=\frac12(\cos x+i\sin x+\cos x-i\sin x)=\cos x$ $\tanh(ix)=\frac{\sinh(ix)}{\cosh(ix)}=\frac{i\sin(x)}{\cos(x)}=i\tan x$ etc. CHK. $\cos(ix)=\cosh x$ $\sin(ix)=i\sinh x$ [[복소수,complex_number]] [[삼각함수,trigonometric_function]] = 지수함수와의 관계 = [[지수함수,exponential_function]] https://i.imgur.com/K09q3eIl.png [* 강우석 2021-03-18 1:12m] = 테일러 급수 = '''쌍곡선함수'''의 테일러 급수 전개. $\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$ $=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $-\infty