#noindex
'''야코비 행렬 Jacobian matrix'''
'''야코비 행렬식 Jacobian determinant''' - 간단히 '''야코비안 Jacobian''' (Thomas)

각각 $J,\ |J|$ ??

나중에페이지분리..[[야코비_행렬,Jacobian_matrix]] [[야코비_행렬식,Jacobian_determinant]]

좌표계 변환과 밀접
 좌표계변환, 좌표변환 [[좌표변환,coordinate_transformation]], [[좌표계,coordinate_system]] [[변환,transformation]] ..[[좌표,coordinate]]
따라서 [[선형변환,linear_transformation]]과도?

편미분의 연쇄법칙과 관련?
 see [[편미분,partial_derivative#s-4]]
다변수함수의 chain rule과 관련.
 [[연쇄법칙,chain_rule]]

<<TableOfContents>>

= 표기 notation =

$\frac{\partial(f,g)}{\partial(u,v)}$ : Jacobian of $f\textrm{ and }g$ with respect to $u\textrm{ and }v$

(O'Neil AEM 7e)

= 한국어 설명 =
직교 uv평면에 있는 영역 G에서
 $\downarrow \;\; x=g(u,v),\, y=h(u,v)$ 치환으로
직교 xy평면에 있는 영역 R로 일대일 변환이 이루어 진 상황을 가정.
R은 변환에 의한 G의 [[상,image]]이며 G는 R의 [[원상,preimage]]이라고 한다.
R에서 정의된 임의의 함수 $f(x,y)$ 는 G에서 정의된 함수 $f(g(u,v),h(u,v))$ 로 생각할 수 있다.
R 위에서의 적분 계산을 G 위에서의 적분 계산으로 바꿀 수 있음.
R 위에서 $f(x,y)$ 의 적분과 G 위에서 $f(g(u,v),h(u,v))$ 의 적분과는 어떤 관계가 있을까?

...(fill in this later)

[[좌표변환,coordinate_transformation]] $x=g(u,v),\,y=h(u,v)$ 의 '''야코비 행렬식(Jacobian determinant)''' 또는 간단히 '''야코비안(Jacobian)'''은 다음과 같다.
 $J(u,v)=\left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|={\partial x\over \partial u}{\partial y\over \partial v}-{\partial y\over \partial u}{\partial x\over \partial v}$
야코비안은
 $J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$
로 쓰기도 한다.
야코비안은 변환에 의해 $(u,v)$ 주변의 넓이가 얼마나 확대되는지 혹은 축소되는지를 나타내는 척도이다.

(Thomas 13e ko chap13.8 중적분에서의 변수변환)

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자코비안(Jacobian) 행렬의 기하학적 의미
https://angeloyeo.github.io/2020/07/24/Jacobian.html
[[행렬,matrix]], [[변환,transformation]]과 연관해 설명.

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from https://suhak.tistory.com/944
일변수 함수를 적분할 때의 [[치환적분,integration_by_substitution]]의 방법과 마찬가지로, 이변수 함수를 적분할 때 변수를 바꿀 일이 많다. 이 때는 [[치환,substitution]]보다는 [[변환,transformation]]이라는 용어를 쓴다.
xy좌표 ↔ uv좌표 변환 식이 이렇고
 $x=f(u,v),\;y=g(u,v)$
x,y,u,v가 모두 t의 함수라면 [[연쇄법칙,chain_rule]]에 따라
 $\frac{dx}{dt}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{dv}{dt},$
 $\frac{dy}{dt}=\frac{\partial g}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial g}{\partial v}+\frac{dv}{dt}$
이렇고 [[미분,differential]]을 생각하면
 $dx=\frac{\partial f}{\partial u}du+\frac{\partial f}{\partial v}dv,$
 $dy=\frac{\partial g}{\partial u}du+\frac{\partial g}{\partial v}dv$
이렇고, 이것을 행렬로 표현하면
 $\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial u}&\frac{\partial f}{\partial v}\\ \frac{\partial g}{\partial u}&\frac{\partial g}{\partial v}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}$
위의 coefficient matrix를 Jacobian matrix라고 하고, 그 행렬식을 보통 Jacobian이라 한다.
 $J(u,v)=\frac{\partial(f,g)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial f}{\partial u}&\frac{\partial f}{\partial v}\\ \frac{\partial g}{\partial u}&\frac{\partial g}{\partial v}\end{vmatrix}$

= 영어 설명 =

= tmp =
Compare: [[헤세_행렬,Hessian_matrix]]

= tmp 이정일 =
Jacobian

$J\left(\frac{x,y}{r,\theta}\right)=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial\theta}\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{array}\right|=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r$

$\int dx\int dyf(x,y)=\int dr\int d\theta \underline{r} f(r\cos\theta,r\sin\theta)$
(r is Jacobian)

if there is another symmetry
$\int drd\theta r f(r,\theta)$
 $=\int dr r \int d\theta f(r)$
 $=\int dr [r f(r)]\int_0^{2\pi}d\theta$
 $=\int dr [2\pi rf(r)]$
 $=\int (dr)(2\pi r)[f(r)]$ -- [user] [[DateTime(2017-12-16T19:27:51)]]

= tmp bmks ko =
from [[Namu:야코비안]], at [[Date(2020-10-31T00:21:14)]], chk
{
Related:
좌표계 변환 - [[좌표계,coordinate_system]] [[변환,transformation]]
다중적분 - [[중적분,multiple_integral]] curr goto [[적분,integration]]
미분소 - goto [[미분,differential]]
[[행렬식,determinant]]

다중적분을 할 때, 미분소를 같은 차원의 좌표계로 변환하는 데 쓰는 행렬식.

$J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \left| \dfrac{\partial (x, \ y)}{\partial (r, \ \theta)}\right|$
}
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야코비 행렬 혹은 자코비 행렬이란? Jacobian Matrix
~~https://freshrimpsushi.tistory.com/989~~
https://freshrimpsushi.github.io/posts/jacobian-matrix/
 "전 도함수total_derivative라고도 하며, 다변수 벡터함수의 도함수를 의미한다." - [[전미분,total_derivative]]

곡선 좌표계에서 좌표 변환과 야코비안 The Coordinate Transform and Jacobian
~~https://freshrimpsushi.tistory.com/1806~~
https://freshrimpsushi.github.io/posts/the-coordinate-transform-and-jacobian/
[[좌표,coordinate]] [[좌표변환,coordinate_transformation]]
----
https://t-robotics.blogspot.com/2013/12/jacobian.html
robotics, 로봇자세제어, kinematics 연관지어 설명
중간에 관절공간 joint_space(or configuration_space), [[회전행렬,rotation_matrix]]에 대한 links 있음

= tmp videos ko =
YouTube:야코비안

= tmp videos en =
What is Jacobian? | The right way of thinking derivatives and integrals - YouTube (Mathemaniac)
https://www.youtube.com/watch?v=wCZ1VEmVjVo&t=1110s

= addhere =
= addhere =
= addhere =

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AKA '''자코비안'''

독일인 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851)의 이름을 따서 명명됨.

Twins:
 WpKo:야코비_행렬
 WpEn:Jacobian_matrix_and_determinant
 Namu:야코비안
 https://mathworld.wolfram.com/Jacobian.html
 https://everything2.com/title/Jacobian+Matrix
 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338282&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 야코비 행렬]]
{
"직선을 직선으로 보내는 일변수함수의 미분은 일차근사식에서 일차항의 계수이다. 평면에서 평면으로 가는 평면변환의 미분은 이 평면변환의 일차근사식에서 일차항의 계수에 해당하는 행렬로 주어진다."
||일변수함수의 미분 ||직선 → 직선 ||일차근사식에서 ||일차항의 계수 ||
||평면변환의 미분   ||평면 → 평면 ||평면변환의 일차근사식에서 ||일차항의 계수에 해당하는 행렬 ||
}
 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125367&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 야코비 행렬식]]
{
[[야코비_행렬,Jacobian_matrix]]의 [[행렬식,determinant]].
[[역함수,inverse_function]]를 구하거나 [[치환적분,integration_by_substitution]]을 할 때 사용.
}
 
Up:
 [[선형대수,linear_algebra]]? [[행렬,matrix]]?
 [[행렬식,determinant]]