pagename 고민. TBD [[정수론,number_theory]]의 cofactor를 여인수, - is a [[인수,factor]] 선대의 cofactor를 여인자 - [[여인자,cofactor]] - is a [[인자,factor]] 이렇게 할까?? 후자도 [[수,number]]이긴 하다. ---- { $n\times n$ 차 [[행렬식,determinant]]에서 성분 $a_{ij}$ 가 속한 행과 열을 없앤 행렬식 $M_{ij}$ 를 $a_{ij}$ 의 [[소행렬식,minor_determinant]]이라고 한다. 그리고 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 를 $a_{ij}$ 의 '''여인수'''(is-a 여인자)라고 한다. $n$ 차 정사각행렬 $A$ 의 [[역행렬,inverse_matrix|역행렬]]의 성분은 $a_{ij}=\frac1{\det(A)}\times(a_{ji}\textrm{'s cofactor})$ ## from 고등학생을 위한 고급미적 p.82 } ---- //mw Cofactor 대충번역 at [[Date(2022-01-28T21:15:46)]] (분야: 정수론?) [[수,number]](정수??) $n=ab$ 와, $n$ 의 [[인수,factor]] $a$ 이렇게 있을 때, $a$ 의 '''여인수,cofactor'''는 $b=n/a$ 이다. (분야: 행렬/linalg) 다른 type의 cofactor - 가끔 cofactor_matrix 라고도 불리는 - 것은 [[minor]] { https://mathworld.wolfram.com/Minor.html } $M_{ij}$ 에 부호가 붙은(signed) 버전이며 다음과 같이 정의된다. $C_{ij} \equiv (-1)^{i+j} M_{ij}$ 이것은 다음과 같이 [[행렬,matrix]] $A$ 의 [[행렬식,determinant]]을 계산하는 데 쓰인다. $|A|=\sum_{i=1}^{k} a_{ij} C_{ij}$ ---- <> = 사전지식: 소행렬, 소행렬식 = 먼저 소행렬과 소행렬식에 대해 [[행렬,matrix]]페이지 보다는 여기에 적음. CHK { 소행렬(minor matrix) n차 정사각행렬에서 i행과 j열을 제거해서 얻어지는 n-1차 정사각행렬 M,,ij,,로 표기. 소행렬식(minor determinant) det(M,,ij,,) or |M,,ij,,| or D,,ij,, 소행렬의 [[행렬식,determinant]]. [[여인수,cofactor]]계산 시 나오는... [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338450&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 소행렬식]] ---- 위와 같이 구분하지 않고, 소행렬식을 그냥 $M_{ij}$ 로 표시하기도 함. ([[https://freshrimpsushi.tistory.com/781 여기]]랑 Gareth Williams 9e) 이 때는 $a_{ij}$ 의 소행렬식(minor of entry a,,ij,,) : $M_{ij}$ $a_{ij}$ 의 여인수(cofactor of entry a,,ij,,) : $C_{ij}$ 이고 $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ---- // http://blog.naver.com/mykepzzang/221080004072 : n×n행렬 A의 i행과 j열을 제외시킨 부분행렬의 행렬식을 M,,ij,,라 쓰고, M,,ij,,를 행렬 A의 성분 a,,ij,,의 '''소행렬식'''이라 한다. 그리고 수 $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 를 성분 $a_{ij}$ 의 '''여인수'''라 한다. 정리: ((원소)×(여인수) 곱의 일정성??) n×n 행렬 A의 어떤 행 또는 열을 선택하는가와 상관없이, 선택된 행 또는 열에 있는 각 원소와 대응하는 여인수의 곱을 모두 더하여 얻은 수는 항상 같다. 정의: 행렬 A가 n×n 행렬일 때, A의 임의의 한 행 또는 열에 있는 각 원소와 대응하는 여인수의 곱을 모두 더해 얻은 수를 행렬 A의 [[행렬식,determinant]]이라 한다. 이 때 합 자체는 A의 여인수 전개라고 불린다. $n\times n$ 행렬 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ 의 [[행렬식,determinant]]은 i행에 의한 여인수 전개 $\det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}$ (행은 i로 일정하고 모든 열에 대해 더함) j열에 의한 여인수 전개 $\det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}$ (열은 j로 일정하고 모든 행에 대해 더함) 그리고 위 둘, 행에 의한 여인수전개 값과 열에 의한 여인수전개 값은 일치한다. } = 여인수, 여인자 = ---- '''여인수, cofactor''' AKA '''여인자''': 소행렬의 행렬식(소행렬식)에 적당한 [[부호,sign]]를 붙인 것 C,,ij,, = (-1)^^i+j^^·det(M,,ij,,) $C_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|$ 즉 C,,ij,,는 하나의 실수이다. 부호는 당연히, 다음 패턴이다. 예를 들어 5x5행렬이라면, +−+−+ −+−+− +−+−+ −+−+− +−+−+ (checkerboard) '''여인수행렬, cofactor matrix''': 모든 i, j에 대해 C,,ij,,들을 모아 행렬을 만든 것? '''여인수전개, cofactor expansion''' AKA '''라플라스 전개, Laplace expansion''': 행렬식을 여인수의 결합으로 표현하는 형태 { $n\times n$ 크기 행렬 $A=[a_{ij}]$ 에 대해, 행렬식은 $\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}$ 임의의 행을 따라서도 가능하다. 제 $i$ 행을 따라 여인수 전개한 행렬식은 열을 기준으로도. 제 $j$ 열을 따라... 내용은 밑의 수학백과 참조. ---- // from KUIAI $n\times n$ 행렬 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ 의 [[행렬식,determinant]] $i$ 행에 의한 여인수 전개 $\det A=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}$ $j$ 열에 의한 여인수 전개 $\det A=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}$ ## via https://youtu.be/4ej1O7ZJe94?t=1097 ---- 그리고 그와 별도로 twins [[WpKo:라플라스_전개]] 라플라스 전개(Laplace expansion) 또는 여인자 전개(cofactor expansion) [[WpEn:Laplace_expansion]] also called cofactor expansion [[Namu:라플라스%20전개]] // Srch:Laplace_expansion Srch:cofactor_expansion 중에 pagename TBD. 아님 둘다 mk하던지 [[전개,expansion]] } = 활용: 역행렬 구하기 = ---- 그리하여 이것으로 역행렬을 구하기... tmp from [[http://kocw-n.xcache.kinxcdn.com/data/document/2016/hanbat/kimdongsoo/7.pdf src]] p34 n×n행렬 $A=[a_{jk}]$ 의 역행렬은 $A^{-1}=\frac1{\det A}[C_{jk}]=\frac1{\det A}\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots&C_{n1}\\ \vdots &\ddots &\vdots \\ C_{1n} &\cdots & C_{nn}\end{bmatrix}$ [[https://blog.naver.com/cindyvelyn/222126373034 src]] 정사각행렬 A의, 역행렬: $A^{-1}=\frac1{\det A}C^t$ (C,,ij,,^^t^^ 맞나? 그렇게 표현하는 게 낫지 않나? CHK) where $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 행렬식: $\det A=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij}\cdot\det(M_{ij})$ https://www.youtube.com/watch?v=bHdzkFrgRcA 끝부분에 있음 나중에 받아적을것 and cp to [[MIT_Multivariable_Calculus]] lec 3 Denis Auroux 1. minors (소행렬을 구한다) 2. cofactors (여인수행렬을 구한다) 3. transpose (전치행렬을 구한다) 4. divide by determinant ---- Twins: [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405215&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 여인수]] https://mathworld.wolfram.com/Cofactor.html Up: [[행렬,matrix]] [[선형대수,linear_algebra]]