[[쌍곡선함수,hyperbolic_function]]의 [[역함수,inverse_function]]

쌍곡선함수는 지수함수 형태이므로, 그 역함수는 로그함수 관련 형태가 나타날 것을 예측할 수 있고, 실제로 그렇다.

$\sinh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
 $(x\in\mathbb{R})$

$\cosh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$
 $(x\ge 1)$

$\tanh^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
 $(-1<x<1)$

$\coth^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
 $(x<-1\,\mathrm{ or }\,x>1)$

${\rm sech}^{-1}x= \ln \left( \frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}- 1}  \right) = \ln \left( \frac{1 +\sqrt{1- x^2}}{x}  \right)$
 $(0<x\le 1)$

$\mathrm{csch}^{-1}x= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+ 1} \right)$
 $(x\ne 0)$

= 복소수 =
복소수 z에 대해서도 마찬가지로 성립.

$\sinh^{-1}z=\ln[z+(z^2+1)^{1/2}]$
$\cosh^{-1}z=\ln[z+(z^2-1)^{1/2}]$
$\tanh^{-1}=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}$

$\frac{d}{dz}\sinh^{-1}z=\frac1{(z^2+1)^{1/2}}$
$\frac{d}{dz}\cosh^{-1}z=\frac1{(z^2-1)^{1/2}}$
$\frac{d}{dz}\tanh^{-1}z=\frac1{1-z^2}$

tmp from Zill AEM p850

= 역쌍곡선함수의 미분, derivative of inverse hyperbolic functions =
$(\sinh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(\cosh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$(\tanh^{-1}x)'=\frac{1}{1-x^2},\;\;|x|<1$
$({\rm csch}^{-1}x)'=\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$
$({\rm sech}^{-1}x)'=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$(\coth^{-1}x)'=\frac{1}{1-x^2},\;\;|x|>1$

(atanh x)'와 (acoth x)'가 모양이 같다.
[[삼각함수_미분표]]에도 내용 있음.

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||sinh^^-1^^x ||csch^^-1^^x ||
||cosh^^-1^^x ||sech^^-1^^x ||
||tanh^^-1^^x ||coth^^-1^^x ||
의 미분은 각각,
||$\frac1{\sqrt{x^2+1}}$ ||$\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2+1}$ ||
||$\frac1{\sqrt{x^2-1}}$ ||$\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}$   ||
||$\frac1{1-x^2}$        ||$\frac1{1-x^2}$             ||

= Misc =
See [[RR:역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function]] 

[[Namu:쌍곡선함수]] 글에는 어원을 근거로 arc- 는 틀리고 ar- 가 옳다는데 chk. 다만 널리 쓰이고 있는 것도 사실임.

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405218&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 역쌍곡함수]]

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Up: [[함수,function]] later [[역함수,inverse_function]]