연산이 더하기([[덧셈,addition]])인 경우 a의 '''역원'''은 −a
연산이 곱하기([[곱셈,multiplication]])인 경우 a의 '''역원'''은 a^^−1^^

MKL
[[집합,set]]
[[연산,operation]]
[[원소,element]]

----
[[집합,set]] S
[[이항연산,binary_operation]] *
그 이항연산 *에 대한 [[항등원,identity_element]](neutral element) e
S의 [[원소,element]] a, b

이렇게 있을 때,

b * a = e 이면, b는 a의 '''left inverse'''.
a * b = e 이면, b는 a의 '''right inverse'''.
b가 a의 left inverse이면서 right inverse이면, b는 a의 '''two-sided inverse'''.

left inverse를 가진 원소는 left invertible. ([[가역성,invertibility]] + element -> [[가역원,invertible_element]] .... https://groupprops.subwiki.org/wiki/Invertible_element ) ... left_invertible_element
right inverse를 가진 원소는 right invertible. .... right_invertible_element

그리고 만일 *가 associative binary operation이라면 당근 left inverse와 right inverse는 equal. ....([[결합법칙,associativity]])

사실 이건 평범한 정의의고 항등원의 존재에 구애받지 않는 더 일반적인 semigroup( [[반군,semigroup]] due to KmsE:semigroup .... WtEn:semigroup https://groupprops.subwiki.org/wiki/Semigroup )에 대한 정의도 있다.
(groupprops wiki)

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[[Date(2022-11-30T16:32:07)]]
inverse는 보통
[[군,group]]에서 쓰이며 (모든 [[원소,element]]가 invertible),
[[환,ring]]에서도 쓰이며(invertible element는 unit(invertible_element, [[WpKo:가역원]], [[WpEn:Unit_(ring_theory)]])으로 불림)
항상 inverse가 정의되지 않는 경우인 [[역행렬,inverse_matrix]], [[역함수,inverse_function]]에서도 쓰임. (wpen)

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[[Date(2023-01-11T12:29:07)]] // moved from 역함수. TOMERGE
'''역원, 역원소'''
'''inverse element''', simply '''inverse'''

좌역원 left inverse element

덧셈의 역원 additive_inverse 덧셈에 대한 역원 - 보통 minus [[부호,sign]]를 붙이는데(negative).. 정의 방식은, b의 additive inverse를 -b라 하고, a-b를 a+(-b)로 정의함. 즉 [[뺄셈,subtraction]]을 덧셈 역원을 더하는 것으로 정의.[* https://m.blog.naver.com/zheemin/221247123956 중간쯤]

곱셈에 대한 역원 multiplicative_inverse
[[곱셈역원,multiplicative_inverse]]이 최적의 pagename같음. [[Date(2023-12-06T20:52:08)]]
 MathWorld:MultiplicativeInverse
 WpKo:곱셈_역원

가역원 가역원소 (invertible_element, unit) - 역원을 갖는 원소
 [[WpKo:가역원]]
 [[유닛,unit]] ... [[단위,unit]]와 영어 표현이 같다

가역원군(unit group) - 모노이드 M의 가역원들의 부분집합은 부분모노이드를 이루며, 또한 군을 이루는데 이걸 M의 가역원군 Unit(M)이라 한다[* [[WpKo:모노이드]] ]
----
비교: [[항등원,identity_element]]

mklink:
[[대수구조,algebraic_structure]]

Compare: [[invertible_element]] { writing; 가역원 invertible_element, unit? - tmp see [[https://groupprops.subwiki.org/wiki/Invertible_element]] and Google:invertible+element }

Sub? :
 // tmp ref. kms inverse => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=inverse
 좌역원 왼쪽역원 left_inverse or left_inverse_element
 우역원 오른쪽역원 right_inverse or right_inverse_element

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338473&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 역원]]
[[WpKo:역원]]
[[WpEn:Inverse_element]]
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Inverse_element

https://brilliant.org/wiki/inverse-element/
[[https://proofwiki.org/wiki/Definition:Inverse_(Abstract_Algebra)]]
[[https://proofwiki.org/wiki/Definition:Inverse_(Abstract_Algebra)/Inverse]]

Up: [[역,inverse]] [[원소,element]]
{
최소원 최소원소 Ndict:최소원 ... least_element WtEn:least_element x (2024-1) Ggl:"least element"
 { Rel [[순서집합,ordered_set]] [[정렬집합,well-ordered_set]]? { Up: 정렬성 ( Ggl:well-ordering ) }
}