기호 함수 $f$ 의 역함수: $f^{-1}$ "f inverse"라고 읽는다. f: X→Y ⇔ f^^-1^^: Y→X $f:X\to Y \;\Leftrightarrow\; f^{-1}:Y\to X$ 함수 $f:X\to Y$ 에 대해 함수 $g:Y\to X$ 가 존재하여 모든 $y\in Y$ 에 대해 $f(g(y))=y$ 이고, 모든 $x\in X$ 에 대해 $g(f(x))=x$ 일 때 $f$ 와 $g$ 는 서로 역함수이며 $g=f^{-1},\;f=g^{-1}$ 로 표시한다. 주의: $f^{-1}(x)\ne \frac1{f(x)}=[f(x)]^{-1}$ ---- 함수와 그 역함수를 합성하면([[합성함수,composite_function]], [[function_composition]]) [[항등함수,identity_function]]가 됨 $(f^{-1}\circ f)(x)=x$ ---- If $f(x)$ is a one-to-one function, then $f^{-1}(f(x))=x=f(f^{-1}(x)).$ ## Slavin Crisonino, Precalculus, 2001, p50 ---- $f:D\to R$ 이 일대일함수([[단사,injection]] 함수, [[단사함수,injective_function]])일 때, '''역함수''' $f$ 의 정의는 $f^{-1}(b)=a\textrm{ if } f(a)=b$ $f^{-1}$ 의 정의역은 $R$ 이고 치역은 $D$ 이다. (즉 정의역과 치역이 교체.) (Thomas Calculus 13e p42) ---- 함수 $f$ 가 정의역 A, 치역 B인 일대일함수([[일대일함수,one-to-one_function|one-to-one function]] with domain A and range B)이면 그 '''역함수'''(inverse function) $f^{-1}$ 는 정의역 B와 치역 A를 가지며, $\forall y\in B$ (B에 있는 임의의 y) 에 대해 다음과 같이 정의된다. $f^{-1}(y)=x\;\Leftrightarrow\;f(x)=y$ (Stewart) ---- (그래프에서 보면/기하적으로) $f^{-1}$ 의 그래프는 $f$ 의 그래프와 직선 $y=x$ 에 대해 대칭. <> = 서로 역함수인 함수들 = [[삼각함수,trigonometric_function]] [[역삼각함수,inverse_trigonometric_function]] [[쌍곡선함수,hyperbolic_function]] [[역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function]] [[지수함수,exponential_function]] [[로그함수,logarithmic_function]] CHK; [[Date(2020-10-24T16:25:46)]] { 다만 위의 것들은 서로 '정교하게 들어맞는 완벽한 엄밀한'(?) 역함수 관계는 아님. 필요는 한데 일대일대응이 불가능한 경우가 많음. 그래서 arcxxx 함수는 원 함수(xxx)의 정의역이나 치역의 일부만 잘라서(piecewise?) 정의하거나 하는 등의 방법을 쓰는 듯. (see calculus textbooks' trig chapter) 역함수의 정의에 들어맞는 '엄밀한'(?) 역함수를 가지는 필요충분조건은 bijection인듯. "역함수를 가질 필요 충분 조건은 전단사 함수이다." from WpKo:역함수 바로 밑에도 있음. multivariable, multivariate, multivalued 등 이런 개념을 도입하면 제약에서 벗어나지만 대신 엄밀한 (역)함수는 아니게 됨. 이것은 [[주치,principal_value]] 개념과도 연관. 그것을 표기하는 notation중 하나인 첫 글자 대문자(capitalization) convention을 사용하여 arcsin vs Arcsin 이런 것도 보았는데 완전히 지배적으로(de facto 표준이 되어) 쓰이지는 않는 듯..? 참고.. [[WpEn:Inverse_trigonometric_functions#Principal_values]] https://brownmath.com/twt/inverse.htm 역삼각/역쌍곡선 함수의 표현/표기/이름/notation은 통일되지 않음. ex. sin을 예로 들면 arcsin Arcsin (아마 principal value만 뽑았음을 강조하는 표기?) arsin asin sin^^-1^^ Sin^^-1^^ (이것도 principal value 〃) } = 역함수를 가질 조건 = 함수 $f:X\to f(X)$ 에 대해 다음은 동치이다. (1) $f$ 가 일대일 함수이다. (2) $f$ 의 역함수가 존재한다. //[[일대일함수,one-to-one_function]], [[단사함수,injective_function]] [[단사,injection]] later. curr goto [[함수,function#s-5.1]] = 역함수의 도함수, 역함수 미분법 = // tmp; merge; just moved from 함수 역함수 미분 [[연쇄법칙,chain_rule]]으로 생각하면 $y=f(x)$ 의 역함수 $y=g(x)$ 일 때 $f(g(x))=x$ 이므로 미분하면 $f'(g(x))g'(x)=1$ 이고 $g'(x)=\frac1{f'(g(x))}$ from [[https://namu.wiki/w/%EC%97%AD%ED%95%A8%EC%88%98%20%EC%A0%95%EB%A6%AC]] ---- 역함수 도함수 내용 [[미분,derivative]]에서도 언급함. 거기서 [[RR:역함수의_도함수(미분)_증명]]도 언급함. ---- If $f$ and $g$ are '''inverse functions''' then, // 즉 $f(g(x))=x$ and $g(f(x))=x$ $g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$ (https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DiffInvTrigFcns.aspx) ---- (Thm.) If $f$ is a one-to-one differentiable function with inverse function $f^{-1}$ and $f'(f^{-1}(a))\ne 0,$ then the inverse function is differentiable at $a$ and $(f^{-1})'(a)=\frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ (Proof) 미분의 정의를 이용하면 $(f^{-1})'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(a)}{x-a}$ If $f(b)=a,$ then $f^{-1}(a)=b.$ And if we let $y=f^{-1}(x),$ then $f(y)=x.$ Since $f$ is differentiable, it is continuous, (미분가능하면 연속) so $f^{-1}$ is continuous. Thus if $x\to a,$ then $f^{-1}(x)\to f^{-1}(a),$ that is, $y\to b.$ Therefore $(f^{-1})'(a)$ $=\lim_{x\to a}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(a)}{x-a}$ $=\lim_{x\to b}\frac{y-b}{f(y)-f(b)}$ $=\lim_{y\to b}\frac{1}{\frac{f(y)-f(b)}{y-b}}$ $=\frac{1}{\lim_{y\to b}\frac{f(y)-f(b)}{y-b}}$ $=\frac{1}{f'(b)}$ $=\frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ (Stewart 9e Appendix F Section 3.6 page A46) ---- 역함수 관계식 $f(f^{-1}(x))=x$ 양변을 미분 $\frac{d}{dx}f(f^{-1}(x))=1$ 연쇄법칙 $f'(f^{-1}(x))\cdot \frac{d}{dx} f^{-1}(x) = 1$ $\frac{d}{dx} f^{-1}(x) = \frac1{ f'(f^{-1}(x)) }$ (Thomas 2.8 p119) = 역함수정리 inverse function theorem = [[역함수정리,inverse_function_theorem]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5668978&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 역함수 정리]] https://calculus.subwiki.org/wiki/Inverse_function_theorem ---- '''역함수 정리''' 구간에서 정의된 미분가능한 함수 $y=f(x)$ 가 ([[미분가능함수,differentiable_function]]) 정의역의 임의의 점 $x$ 에서 $f'(x)\ne 0$ 이면, $f$ 의 [[역함수,inverse_function]] $x=f^{-1}(y)$ 가 존재하고, 미분가능하다. 이 때 ([[미분가능성,differentiability]]) $\frac{d}{dy} f^{-1}(y) = \frac1{ \frac{d}{dx} f(x) }$ 이다. 역함수 정리의 결론을 간단하게 $\frac{dx}{dy} = \frac1{ \;\frac{dy}{dx}\; }$ 라고 표현할 수 있다. 역함수정리의 증명은 부록에 두지만, 마지막 결론의 등식은 항등식 $f^{-1}(f(x))=x$ 에 합성함수 미분법(*)을 적용하여 얻은 식 $\frac{df^{-1}}{dy}\cdot\frac{df}{dx}=1$ 에서 바로 나온다. (*) (합성함수 미분법에 대한 각주) 합성함수 미분법은 "미분가능한 함수 $y=f(x)$ 와 $z=g(y)$ 의 [[합성함수,composite_function]] $z=g(f(x))$ 는 미분가능하고 $\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$ 이다."를 뜻한다. 이 법칙을 고차원에서 [[연쇄법칙,chain_rule]]이라 부르는 이유는 제 10장에서 밝힌다. (김홍종 미적1+ p87 정리 6.1.4) ---- TODO 밑에 역함수미분공식과 MERGE? Up: [[역함수,inverse_function]] [[정리,theorem]] = (정리) f: 연속 ⇔ f^^-1^^: 연속 = proof? Google:연속이면+역함수도+연속 = 역함수미분 공식 - 라이프니츠 표기 = 역함수 미분 공식 $(f^{-1})'(x)=\frac1{f'(f^{-1}(x))$ 을 Leibniz_notation 로 하면 $\frac{dx}{dy}=\frac1{\;\frac{dy}{dx}\;}$ 참고: 김도형 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1177885 4. 1:20 전후 and Google:inverse+function+derivative+leibniz+notation = TBW later; + fork to 'inverse' and '역' page = [[역,inverse]] [[역,converse]] [[부정,negation]]과의 차이 tbw == inverse == [[역행렬,inverse_matrix]] 관련하여 서술, 및 inverse가 들어간 모든 것과의 관계 알아볼 것. [[역원,inverse_element]] [[역변환,inverse_transform]] see [[변환,transform]] 역푸리에 변환(inverse Fourier transform) - see [[푸리에_변환,Fourier_transform]] 라플라스역벽환? - see [[라플라스_변환,Laplace_transform]] 반비례 = inverse proportion. (see [[비,ratio]]) == 역 == '반대' 의미의 역으로 번역되는 것은 inverse 외에 converse, reverse, reciprocal(ex. 역수), anti-(ex. 역도함수), back-, (arc-, ar-: 역삼각과 역쌍곡선 함수의 경우), [[http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?start=0&sort=ename&key=kname&keyword=%EC%97%AD&alpa= 등이 있음.]] 역함수의 이름과 관련된 문제. 논리 쪽 용어로는 역=inverse가 아니라, 역=converse, 이=inverse, 대우=contraposition 이다. 그런데 역함수=inverse function [[역행렬,inverse_matrix]] 이다. [[논리,logic]] 쪽에선 이=inverse, 역=converse이므로 주의. CHK ---- Sub: [[역삼각함수,inverse_trigonometric_function]] [[역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function]] Related: [[주치,principal_value]] 다변수/다가/...함수 - see [[함수,function#s-32.1]] Twins: [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338284&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 역함수]] https://mathworld.wolfram.com/InverseFunction.html [[WpEn:Inverse_function]] [[WpKo:역함수]] https://planetmath.org/inversefunction https://encyclopediaofmath.org/wiki/Inverse_function Up: [[역,inverse]] [[함수,function]] - 원래 있던 곳: [[함수,function#s-6]]