정의:
 n차 정사각행렬 A에 대해, 다음을 만족하는 B가 있으면 A는 가역(invertible)이다.
  AB=I,,n,,=BA
 이 때 B를 A의 '''역행렬(inverse matrix)'''이라 하며, 이러한 B가 없으면 A는 비가역(noninvertible)이다.

표기:
 A의 역행렬 = A^^−1^^

따라서 AA^^−1^^=A^^−1^^A=I

관련: [[가역행렬,invertible_matrix]]

A는 det(A)≠0일 때에만 '''역행렬'''을 가진다.

'''역행렬'''이 존재한다면 유일하다(unique). // [[유일성,uniqueness]]

[[영행렬,zero_matrix]]의 '''역행렬'''은 존재하지 않는다. $\not\exists O^{-1}$ - chk

행렬의 곱셈에 대한 [[역원,inverse_element]].

CHK
{
행렬 A의 역행렬은
 $A^{-1}=\frac1{\det A}\operatorname{adj}A$
 det : [[행렬식,determinant]]
 adj : 수반행렬=[[딸림행렬,adjoint_matrix]]
}

<<TableOfContents>>

= TMP CHK =

용어가 난립하고 혼란스러워서 대대적 정리 및 비교표 필요 ex. singular/nonsingular/정칙/비정칙/가역/비가역/invertible/inverse/....

{

invertible matrix = nonsingular matrix

AB=BA=I
여기서 A, B는 둘 다 invertible(=nonsingular) 행렬에 속함.
그리고 A, B는 서로 inverse matrix임.

A는 있는데 위 식을 만족하는 B가 존재하지 않으면, A는 singular matrix에 속함.

nonsingular matrix의 inverse matrix는 유일함. i.e.
nonsingular matrix는 단 하나의 inverse matrix를 가짐. (아래 밑에 증명까지 적어놓은 게 있네.)

역행렬의 조건:
A가 nonsingular matrix일 필요충분조건은 A의 determinant가 0이 아니라는 것. i.e.
det(A)≠0

} from https://beckho.tistory.com/88

CHK [[http://kocw-n.xcache.kinxcdn.com/data/document/2016/hanbat/kimdongsoo/7.pdf p32]]
{

||역행렬을 갖는 경우     ||[[정칙행렬,regular_matrix]]  ||nonsingular matrix||
||역행렬을 갖지 않는 경우||[[특이행렬,singular_matrix]] ||singular matrix   ||

A가 n×n행렬일 때
||$\exists A^{-1}$     ||rank(A)=n ||A는 정칙행렬 ||det(A)≠0 ||
||$\not\exists A^{-1}$ ||rank(A)<n ||A는 특이행렬 ||그럼여기는 det(A)=0? CHK ||
}

= 2×2 행렬의 역행렬 =
Let
 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}.$
If det(A)=ad−bc=0 : A is not invertible.
If det(A)=ad−bc≠0 : A is invertible and
 $A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}.$


= 성질 =
$(A^{-1})^{-1}=A$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}$
CHK

----
[[Date(2022-12-28T14:23:55)]] 고교참고서보고 적음, 대개 너무 뻔하지만 안그런건 증명이나 그런거 나중에

AB=I ⇔ A=B^^−1^^, B=A^^−1^^

(A^^−1^^)^^−1^^=A

(A^^n^^)^^−1^^=(A^^−1^^)^^n^^

(AB)^^−1^^=B^^−1^^A^^−1^^,
(ABC)^^−1^^=C^^−1^^B^^−1^^A^^−1^^,
(ABCD)^^−1^^=D^^−1^^C^^−1^^B^^−1^^A^^−1^^ ...
 설명:
 (AB)(B^^−1^^A^^−1^^)=A(BB^^−1^^)A^^−1^^=AIA^^−1^^=AA^^−1^^=I
 (B^^−1^^A^^−1^^)(AB)=I (마찬가지로)
 따라서 역행렬의 정의에 의해 (AB)^^−1^^=B^^−1^^A^^−1^^

A=A^^−1^^ ⇔ A^^2^^=I

(kA)^^−1^^=k^^−1^^A^^−1^^ = (1/k)A^^−1^^ (단 k≠0인 실수)

(ABA^^−1^^)^^n^^=AB^^n^^A^^−1^^,
(BAB^^−1^^)^^n^^=BA^^n^^B^^−1^^

AX=B ⇔ X=A^^−1^^B,
XA=B ⇔ X=BA^^−1^^
 설명:
 AX=B
 ⇒ A^^−1^^(AX)=A^^−1^^B
 ⇒ (A^^−1^^A)X=A^^−1^^B
 ⇒ X=A^^−1^^B

CHK

= 정리 =
== 1. ==
n차의 정사각행렬 A가 가역이면 A의 역행렬은 유일하다.

증명
행렬 B, C가 모두 A의 역행렬이라면
 AB=I,,n,,=BA,
 AC=I,,n,,=CA
이므로
 B=BI,,n,,=B(AC)=(BA)C=I,,n,,C=C ,,■,,

== Sherman-Morrison, Woodbury, Sherman-Morrison-Woodbury ==
(이것들의 관계?)

[[정사각행렬,square_matrix]]

tmp see https://datascienceschool.net/02%20mathematics/02.04%20선형%20연립방정식과%20역행렬.html#id10

셔먼-모리슨-우드버리 공식(Sherman–Morrison-Woodbury formula)
https://jjycjnmath.tistory.com/398

[[WpEn:Sherman–Morrison_formula]]

Google:Sherman-Morrison
Google:Woodbury+formula

= 컴퓨터에서 =
[[넘파이,NumPy]]에선 `numpy.linalg.inv(A)` 사용.
tmp see https://datascienceschool.net/02%20mathematics/02.04%20선형%20연립방정식과%20역행렬.html#id12

= TODO =
QQQ 정사각행렬에서만 정의? 이유?
AA^^−1^^ 그리고 A^^−1^^A가 모두 항상 정의되어야 해서 그런거?

= adjoint와의 관계, chk and merge =
Inverse matrix:
 $A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}A}{|A|}$
where $\operatorname{adj}A$ is an [[adjoint_matrix]](수반행렬, [[딸림행렬,adjoint_matrix]]? 여인수행렬의 [[전치행렬,transpose_matrix]]? mksure) which is defined as
 $\operatorname{adj}A = \begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}^T$
where $c_{ij}$ is the [[여인수,cofactor|cofactor]] of $a_{ij}$
 $c_{ij}=(-1)^{i+j} m_{ij}$
where $m_{ij}$ is the [[행렬식,determinant|determinant]] of $(n-1)\times(n-1)$ matrix whose i-th row and j-th column are deleted. // ([[소행렬식]] [[minor]])
// via 김광수 http://kocw.net/home/cview.do?mty=p&kemId=1389213 1. 39m

= Bmks en =
https://everything2.com/title/How+to+find+the+inverse+of+a+matrix

----
Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338111&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 역행렬]]
[[WpKo:역행렬]]
[[WpEn:Inverse_matrix]]
[[Libre:역행렬]]

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Inverse_Matrix

Up:
 [[행렬,matrix]]
 [[이,inverse]] 또는 [[역,converse]]??