AKA '''선형방정식계, 선형연립방정식''' = 해의 개수와... = 일반적으로, '''연립일차방정식'''에 대하여 다음 중 하나가 성립한다. i. 유일한 해를 갖는다. i. 해를 갖지 않는다. i. 무수히 많은 해를 갖는다. 즉 해의 개수는 {0, 1, ∞} 셋 중 하나. 다른 가능성은 없음. ''이건 '''선형시스템'''의 [[해집합,solution_set]]의 [[카디널리티,cardinality]]가 세 종류밖에 없다는 것? - CHK'' 연립방정식이 일치(consistent) : 하나 이상의 해가 있음 연립방정식이 불일치(inconsistent) : 해가 없음 해가 있으면 consistent 해가 없으면 inconsistent [[해,solution]]의 개수에 따라 세 가지 경우: consistent (한 해) consistent (무한히 많은 해) .... TBW [[부정방정식,indeterminate_equation]]과 관계 inconsistent (해 없음) '''선형방정식계'''를 해의 개수에 따라 분류하는 것? - chk ||해가 없음 ||0 ||inconsistent || ||해가 있음, 오직 한 개 ||1 ||consistent || ||해가 있음, 무수히 많이 ||∞ ||consistent || 위 표의 마지막 열은 다시 말해 해가 존재 : consistent 해가 없음 : inconsistent ---- https://i.imgur.com/OMDQ4tH.png ---- 표기법으로 행렬표기법이 있는데 (matrix_notation) 변수들의 [[계수,coefficient]]를 가지고 [[행렬,matrix]]로 표현하는 것. 그것이 [[계수행렬,coefficient_matrix]] 이고, 상수항까지 (오른쪽에?) 포함시키면 [[첨가행렬,augmented_matrix]] CHK ---- [[첨가행렬,augmented_matrix]]을 [[기본행연산,elementary_row_operation,ERO]]을 해서 [[행사다리꼴,row_echelon_form,REF]]로 변형해서 풀면 [[가우스_소거,Gaussian_elimination]]법이라 하고, [[기약행사다리꼴,reduced_row_echelon_form,RREF]]로 변형해서 풀면 Gauss-Jordan 소거법이라 한다. ....이하 CHK 그리고 변형 과정에서 유일한 해를 갖는지, 해를 가지지 않는지를 알 수 있으며 선행성분의 수 r ([[계수,rank]]?) 과 미지수의 수 n의 크기비교도 중요 내용은 다음 사이트 참조. see https://wikidocs.net/75296 관련... [[선형방정식,linear_equation]] (curr goto [[방정식,equation]]) [[선형계,linear_system]] [[행렬,matrix]] [[가우스_소거,Gaussian_elimination]] [[TI-Nspire_CAS]]로 푸는 법: 다음 중 하나를 입력 * rref([[첨가행렬,augmented_matrix]]) * linSolve(방정식들,{변수들}) <> = 표현 = 일치와 불일치: 위에서 해의 개수와 관련되므로, 그 바로 뒤에 언급했음. (또 다른 번역은 모순이 없다(consistent): 연립방정식이 적어도 하나의 해를 가짐(즉 유일해 또는 무한히 많은 해를 가짐) 모순이 있다(inconsistent): 해를 갖지 않음 이것은 Kreyszig Ch7) 제차와 비제차: 중요해서 밑에 section이 있음. 과잉한정(overdetermined): 연립방정식이 미지수보다 더 많은 방정식을 가짐 과소한정(underdetermined): 미지수보다 적은 방정식을 가짐 (Kreyszig Ch7) = 선형시스템의 동치 equivalence = '''선형연립방정식(선형시스템)'''의 [[동치,equivalence]]란 두 선형시스템이 같은 [[해집합,solution_set]]을 갖는 것. ## from KUIAI https://www.youtube.com/watch?v=f6YCE0bn7Ks 9m = 행렬의 가역성과 방정식의 해 사이 관계 = n차 정사각행렬 A가 [[가역행렬,invertible_matrix|가역]]이고(따라서 해당하는 [[역행렬,inverse_matrix|역행렬]]이 있고) b가 ℝ^^n^^의 벡터일 때, 연립방정식 Ax=b 는 다음 유일한 해를 가진다. x=A^^-1^^b ## from https://wikidocs.net/75598 - page deleted ---- (from 고딩 책, easy, del ok) [[역행렬,inverse_matrix]]과 '''연립일차방정식'''의 [[해,solution]]. 방정식 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}{x\choose y}={p\choose q}$ 에서, ① $ad-bc\ne 0$ 일 때, 오직 한 쌍의 해가 (다음 식) 존재한다. $\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}\binom{p}{q}$ ② $ad-bc=0$ 일 때, 해가 무수히 많거나(부정) 해가 없다(불능). = 풀기 = (행렬)(벡터)=(벡터) 꼴로 먼저 나타낸다. Ax=b 여기서 A, x, b는 각각 계수행렬coefficient_matrix, 미지수벡터(unknown vector), 상수벡터(constant vector)라 불린다.[* https://datascienceschool.net/02%20mathematics/02.04%20선형%20연립방정식과%20역행렬.html#id2] A의 [[역행렬,inverse_matrix]] A^^−1^^을 구해 왼쪽에 곱하면 x=A^^−1^^b 물론 저렇게 하려면 A의 역행렬이 존재해야 한다. (i.e. A가 [[가역행렬,invertible_matrix]] = [[정칙행렬,regular_matrix]] = 비특이행렬 non-singular matrix 이어야 한다.)[* https://datascienceschool.net/02%20mathematics/02.04%20선형%20연립방정식과%20역행렬.html#id3] A의 역행렬이 존재하지 않으면, (i.e. A가 비가역행렬 non-invertible matrix = [[특이행렬,singular_matrix]] = [[퇴화행렬,degenerate_matrix]]{ Google:퇴화행렬 Google:degenerate_matrix } 이면,) TBW == ERO == [[선형대수,linear_algebra]]적 방법... 계수행렬...보다는 [[첨가행렬,augmented_matrix]]로 나타낸 다음 [[기본행연산,elementary_row_operation,ERO]] 세 연산들을 사용해서 echelon_form 으로 변환하면 답이 보임. reduced_echelon_form(REF) 으로까지 변환하면 더 명확히 보임. [[행사다리꼴,row_echelon_form,REF]] [[기약행사다리꼴,reduced_row_echelon_form,RREF]] == Ax=b 풀이법 ... CHK TMP CLEANUP DELME == // https://blog.naver.com/lado135/221879792739 (1) // https://blog.naver.com/lado135/221884748041 (2) Ax=b의 해가 존재하기 위한 조건: 1. b가 A의 [[열공간,column_space]]안에 있다. 2. 어떤 A의 행의 조합이 영행을 만든다면, 같은 조합으로 b도 0(?)을 만들어야 한다. 둘은 같은 말이라고. 미지수가 식보다 많을 경우 모든 [[해,solution]]을 찾는 법. $X_p$ : particular solution $X_c$ : complete solution $X_n$ : nullspace solution - see [[영공간,null_space]] free variables에 0을 넣어서 back substitution을 통해 particular solution $(X_p)$ 을 구한다. 다음 $X_{complete}:X_{particular}+X_{nullspace}$ (CLEANUP) = 제차연립방정식과 비제차연립방정식 = $n$ 개의 미지수 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 을 갖는 $m$ 개의 '''선형연립방정식'''은 $\begin{matrix} a_{11}x_1&+&\cdots&+&a_{1n}x_n &=& b_1 \\ a_{21}x_1&+&\cdots&+&a_{2n}x_n &=& b_2 \\ &&\vdots&& \\ a_{m1}x_1&+&\cdots&+&a_{mn}x_n &=& b_m \end{matrix}$ 여기서 ● $b_j$ 가 모두 0이면 제차연립방정식(homogeneous system), ● 하나라도 0이 아니면 비제차연립방정식(nonhomogeneous system). 제차이면, 자명한 해 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ 이 있음. ## Kreyszig 7.3 앞부분 = 특이해와 제차해 = [[연립일차방정식,system_of_linear_equations]]의 [[해,solution]]: 특이해와 제차해 예를 들어 $\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}$ ↔ $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}$ A가 정칙이면, ↔ $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}$ A가 정칙이 아니면 $ad-bc=0$ $ad=bc$ $a:b=c:d$ 즉 두 직선이 collinear. 두 직선이 일치함(해가 무수히 많음)을 가정하면, 이 연립방정식의 무수히 많은 모든 해를 특이해와 제차해의 조합으로 표현 가능. 특이해: 다음을 만족하는 $(x_0,y_0)^t$ $A\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}$ 제차해: 위 식에서 우변 상수를 0으로 했을때의 해 $(x_1,y_1)$ (단 $x_1$ 과 $y_1$ 중에 적어도 하나는 0이 아님. 책에선 $(x_1,y_1)\ne(0,0)$ 으로 표기.) $A\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ 임의의 상수 c에 대해, 다음 $(x,y)$ 는 모두 원래 방정식의 해가 됨 $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}$ 이것은 A를 곱하면 확인 가능 $A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}+cA\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}$ 직선으로 나타내면 특이해는 직선상의 한 점에 대응 제차해는 직선 방향을 나타내는 벡터에 대응 (나카이 에츠지) = 수반동차연립방정식 = associated homogeneous system of linear equation Ax=b에 대해 Ax=0을 뜻함. https://wikidocs.net/75598 의 5. 참조. 수반동차연립방정식의 해는 일차연립방정식의 해에 특수해를 더해 얻는다고. = 선형연립방정식과 수반동차연립방정식의 해집합 사이의 관계 = 선형연립방정식의 해가 유일함 수반동차연립방정식의 해가 유일해서 영벡터밖에 없음 선형연립방정식의 해가 무수히 많음 수반동차연립방정식이 자명하지 않은 해를 가짐 선형연립방정식의 해가 존재하지 않음 수반동차연립방정식의 해공간과 별도로 특수한 해 x0가 없다는 것 from https://wikidocs.net/75791; CHK = tmp, chkout = https://everything2.com/title/Iterative+methods+for+solving+systems+of+linear+equations ---- See also '''[[선형계,linear_system]]''' (Lay에는 사실상 같은 단어로 소개) Twins: https://mathworld.wolfram.com/LinearSystemofEquations.html http://mlwiki.org/index.php/System_of_Linear_Equations WpSimple:System_of_linear_equations WpEn:System_of_linear_equations WpKo:연립_일차_방정식 Up: [[선형대수,linear_algebra]] [[연립방정식,system_of_equations]]