연속성,continuity

연속이면 (중간 값을 취하지 않고 한 값에서 다른 값으로 갑자기 도약)이 발생하지 않음.


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1. 관련 표현

continuous adj. 연속하는/연속된
continuation? 연속
discontinuous 불연속(적인)
discontinuity 불연속점
연속함수,continuous_function: 정의역의 모든 점에서 연속인 함수
{
만약 함수 $f,g$ 가 $x=c$ 에서 연속이면 다음 함수들도 $x=c$ 에서 연속이다.
합 차 상수배 곱 몫 거듭제곱 근
$f+g,f-g,kf,f\cdot g,f/g(g(c)\ne 0),f^n(n\in\mathbb{Z}^{+}),\sqrt[n]{f}(n\in\mathbb{Z}^{+})$
}
불연속함수 discontinuous function: 정의역의 하나 이상의 점에서 불연속인 함수
제거가능한 불연속(점) removable discontinuity
비약/도약 불연속(점) jump discontinuity
무한 불연속 infinite discontinuity
ex. $f(x)=1/x^2$
진동 불연속 oscillating discontinuity

uniform continuity
uniform_continuity
작성중

absolute continuity
absolute_continuity
작성중

(c에서) 연속 continuous
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$
오른쪽으로부터 연속 continuous from the right, right-continuous
$\lim_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$
왼쪽으로부터 연속 continuous from the left, left-continuous
$\lim_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$

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2. 일변수함수의 경우

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2.1. 점에서 연속

간단히 다음 세 조건을 만족하면 연속.
  • 함수값이 존재
  • 극한,limit값이 존재
  • 극한값과 함수값이 일치

함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속 ⇔
$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=f\left(\lim_{\small x \to a}x\right)$

함수 $f$ 가 $x=a$ 에서 연속이라는 것은 다음 세 가지 사실을 내포
  1. $f(a)$ 가 존재
  2. $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재
  3. $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

따라서 저 값이 존재하지 않거나, 존재하지만 다르다면, 불연속함수.

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2.2. 구간에서 연속

함수 $f$ 가 구간,interval $I$ 내의 모든 점,point에서 연속이면, $f$ 는 $I$ 에서 연속이라 한다. chk

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3. 다변수함수의 경우

이변수함수 f(x, y)가 (a, b)에서 연속 ⇔
$\lim_{\small(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)$

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4. 합성함수의 경우

Continuity of composite functions at a point
g가 a에서, 그리고 f가 g(a)에서 연속이면
$f\circ g$ 는 a에서 연속이다.

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5. 벡터함수/벡터값함수의 연속

벡터함수,vector_function의 Thomas Ch11 부분 참조.

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6. Thm

f가 b에서 연속이고 $\lim_{x\to a}g(x)=b$ 이면,
$\lim_{x\to a}f\left(g(x)\right)=f(b)$

다시 말해,
$\lim_{x\to a}f\left(g(x)\right)=f\left(\lim_{x\to a}g(x)\right)$

증명은 Stewart, Appendix F에 있음

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7. 함수 f가 L에서 연속

$\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0$
such that
$|x-L|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(L)|<\epsilon$

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8. 미분가능과 연속

미분가능하면 연속. See 미분,differentiation.
(+ 연속이면 적분가능. See below.)

// tmp from http://sosmath.com/calculus/diff/der10/der10.html Differentiation and Continuity
{
Locally, 미분가능하면 연속이다.
Global하게 보면...
$f(x)$ 가 구간 $I$ 에서 미분가능한 함수라 하고
$f'(x)$ is bounded on $I$ 라고 가정한다. - $\forall x\in I, \; |f'(x)|\le M$ 인 양수 $M>0$ 이 존재한다고 가정한다.
그렇다면 평균값정리,mean_value_theorem,MVT에 의해 $\forall x,y\in I,$
$|f(x)-f(y)| \le M|x-y|$
이것이 Lipschitz_continuity의 정의이다. 다른 말로 하면, $f'(x)$ is bounded then $f(x)$ is a Google:Lipschitzian_function.


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9. 역함수와 연속

$f$ 가 연속이면 $f^{-1}$ 도 연속이다.


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10. 관련 개념


다항함수,polynomial_function는 항상 연속적인가? 증명은?

연속이면 적분가능. 정적분,definite_integral
정리: $f:[a,b]$ 에서 연속 $\Rightarrow \; f$ 는 $[a,b]$ 에서 적분가능.
i.e. $\exists \int_a^b f(x)dx$

비교:
불연속성,discontinuity - 반대 개념.
이산성,discreteness - 대조되는 개념.
continuous adj. 연속적 / continuity n. 연속성 / 연속성,continuity
discrete adj. 이산적 / discreteness n. 이산성 / 이산성,discreteness
연속성과_이산성 ? 연속과_이산 ? 연속과_이산,continuous_and_discrete - curr goto 이산수학,discrete_math 밑부분.
TBW:
실수와 자연수의 비교,
digital vs analog와의 비교와 차이점, etc.
countability(가산성), countable(셀 수 있는, 가산의)... uncountability(비가산성), uncountable(셀 수 없는, 비가산의) 과 정확한 관계

나중에:
WpEn:Lipschitz_continuity
WpEn:Hölder_condition

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11. 물리? 암튼 이름이 겹침

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12. '연속성'의 변종이나 유사개념??


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12.1. 매끄러움 smoothness

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12.2. semicontinuity , semi-continuity

semicontinuity , semi-continuity
연속성보단 좀 약한 개념

directional continuity와 같은건지? chk. (via WpEn:Continuous_function#Directional_and_semi-continuity)

https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-continuity
ko interwiki : WpKo:반연속_함수

번역어는? 2022-06-13 현재 https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=continuity 를 보면 semi continuity / semi-continuity / semicontinuity 는 따로 없고
{
approximate lower semi continuity 근사 아랫부분 연속성
approximate upper semi continuity 근사 위쪽부분 연속
} 이 둘이 있음

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12.3. hemicontinuity

hemicontinuity n.
hemicontinuous adj.

hemicontinuity
upper_hemicontinuity
lower_hemicontinuity

multivalued_function / multivalued_mapping 쪽으로 확장한 것인가?



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13. Bmks ko

https://mathlyblog.wordpress.com/2016/01/01/연속성continuity/
{
(직관적으로?) 정의역,domain의 값이 '살짝' 변하면 대응하는 함수값도 '살짝' 변하는.
함수의 연속성은 위상수학(위상,topology)에서 간단하게 표현됨 :
위상공간,topological_space $X,Y$ 사이의 함수,function $f:X\to Y$ 가 있을 때,
$Y$ 의 모든 열린집합,open_set $U$ 에 대해
$f^{-1}(U)$ 가 $X$ 에서 열린집합일 때,
$f$ 를 연속이라 말한다.
치역의 모든 open set에 대해 그 inverse_image가 모두 open_set이다? chk
rel. 호모토피,homotopy
}