연속이면 (중간 값을 취하지 않고 한 값에서 다른 값으로 갑자기 도약)이 발생하지 않음. Sub: [[절대연속성,absolute_continuity]] w [[연속함수,continuous_function]] - 작성중, curr see [[함수,function#s-25]] [[연속사상,continuous_map]] - curr goto [[사상,map]]. [[Lipschitz_continuity]] - writing [[Dini_continuity]] - WpEn:Dini_continuity [[Hoelder_continuity]]? Hölder continuity - WpEn:Hölder_continuity <> = 관련 표현 = '''continuous''' adj. 연속하는/연속된 '''continuation'''? 연속 ... [[연속,continuation]] 연속 via KmsE:continuation Cmp: [[연속성,continuity]] [[해석적연속,analytic_continuation]] 해석적 연속/연장 (KMS), 해석적 확장 (수백), ... [[복소해석,complex_analysis]]에서, [[해석함수,analytic_function]]의 [[정의역,domain]]을 확장하는/확대하는/늘이는 technique. [[WpKo:해석적_연속]] ex. "한 예로 [[제타함수,zeta_function]]를 [[복소평면,complex_plane]] 전체로 확장한 [[리만_제타함수,Riemann_zeta_function]]가 있다" [[WpEn:Analytic_continuation]] [[WpJa:解析接続]] "해석접속" NN:"analytic continuation" Up: [[해석학,analysis]]? [[확장,extension]]? 분야는 [[복소해석,complex_analysis]] discontinuous 불연속(적인) discontinuity 불연속점 [[연속함수,continuous_function]]: 정의역의 모든 점에서 연속인 함수 { 만약 함수 $f,g$ 가 $x=c$ 에서 연속이면 다음 함수들도 $x=c$ 에서 연속이다. 합 차 상수배 곱 몫 거듭제곱 근 $f+g,f-g,kf,f\cdot g,f/g(g(c)\ne 0),f^n(n\in\mathbb{Z}^{+}),\sqrt[n]{f}(n\in\mathbb{Z}^{+})$ } 불연속함수 discontinuous function: 정의역의 하나 이상의 점에서 불연속인 함수 제거가능한 불연속(점) removable discontinuity 비약/도약 불연속(점) jump discontinuity 무한 불연속 infinite discontinuity ex. $f(x)=1/x^2$ 진동 불연속 oscillating discontinuity uniform continuity uniform_continuity 작성중 absolute continuity absolute_continuity 작성중 (c에서) 연속 continuous $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ 오른쪽으로부터 연속 continuous from the right, right-continuous $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$ 왼쪽으로부터 연속 continuous from the left, left-continuous $\lim_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$ = 일변수함수의 경우 = == 점에서 연속 == 간단히 다음 세 조건을 만족하면 연속. * 함수값이 존재 * [[극한,limit]]값이 존재 * 극한값과 함수값이 일치 함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속 ⇔ $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=f\left(\lim_{\small x \to a}x\right)$ 함수 $f$ 가 $x=a$ 에서 '''연속'''이라는 것은 다음 세 가지 사실을 내포 1. $f(a)$ 가 존재 1. $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재 1. $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 따라서 저 값이 존재하지 않거나, 존재하지만 다르다면, '''불연속'''함수. == 구간에서 연속 == 함수 $f$ 가 [[구간,interval]] $I$ 내의 모든 [[점,point]]에서 '''연속'''이면, $f$ 는 $I$ 에서 연속이라 한다. chk = 다변수함수의 경우 = 이변수함수 f(x, y)가 (a, b)에서 연속 ⇔ $\lim_{\small(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)$ = 합성함수의 경우 = Continuity of composite functions at a point g가 a에서, 그리고 f가 g(a)에서 연속이면 $f\circ g$ 는 a에서 연속이다. = 벡터함수/벡터값함수의 연속 = [[벡터함수,vector_function]]의 Thomas Ch11 부분 참조. = Thm = f가 b에서 연속이고 $\lim_{x\to a}g(x)=b$ 이면, $\lim_{x\to a}f\left(g(x)\right)=f(b)$ 다시 말해, $\lim_{x\to a}f\left(g(x)\right)=f\left(\lim_{x\to a}g(x)\right)$ 증명은 Stewart, Appendix F에 있음 = 함수 f가 L에서 연속 = $\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0$ such that $|x-L|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(L)|<\epsilon$ = 미분가능과 연속 = 미분가능하면 연속. See [[미분,differentiation]]. (+ 연속이면 적분가능. See below.) // tmp from http://sosmath.com/calculus/diff/der10/der10.html Differentiation and Continuity { Locally, 미분가능하면 연속이다. Global하게 보면... $f(x)$ 가 구간 $I$ 에서 미분가능한 함수라 하고 $f'(x)$ is bounded on $I$ 라고 가정한다. - $\forall x\in I, \; |f'(x)|\le M$ 인 양수 $M>0$ 이 존재한다고 가정한다. 그렇다면 [[평균값정리,mean_value_theorem,MVT]]에 의해 $\forall x,y\in I,$ $|f(x)-f(y)| \le M|x-y|$ 이것이 [[Lipschitz_continuity]]의 정의이다. 다른 말로 하면, $f'(x)$ is bounded then $f(x)$ is a Google:Lipschitzian_function. curr see WpEn:Lipschitz_continuity } = 역함수와 연속 = $f$ 가 연속이면 $f^{-1}$ 도 연속이다. [[역함수,inverse_function]] = 관련 개념 = [[극한,limit]] [[다항함수,polynomial_function]]는 항상 연속적인가? 증명은? 연속이면 적분가능. [[정적분,definite_integral]] 정리: $f:[a,b]$ 에서 연속 $\Rightarrow \; f$ 는 $[a,b]$ 에서 적분가능. i.e. $\exists \int_a^b f(x)dx$ ## from 단대 김도형 일반수학1 7강 1:37 비교: [[불연속성,discontinuity]] - 반대 개념. [[이산성,discreteness]] - 대조되는 개념. continuous adj. 연속적 / continuity n. 연속성 / [[연속성,continuity]] discrete adj. 이산적 / discreteness n. 이산성 / [[이산성,discreteness]] 연속성과_이산성 ? 연속과_이산 ? [[연속과_이산,continuous_and_discrete]] - curr goto [[이산수학,discrete_math]] 밑부분. TBW: 실수와 자연수의 비교, digital vs analog와의 비교와 차이점, etc. countability(가산성), countable(셀 수 있는, 가산의)... uncountability(비가산성), uncountable(셀 수 없는, 비가산의) 과 정확한 관계 나중에: [[WpEn:Lipschitz_continuity]] [[WpEn:Hölder_condition]] = 물리? 암튼 이름이 겹침 = [[연속방정식,continuity_equation]] 이건 [[보존,conservation]]과 관련될 경우. = '연속성'의 변종이나 유사개념?? = == 매끄러움 smoothness == [[매끄러움,smoothness]] '''연속성'''과 저것의 비교 필요. TBW ex. [[연속함수,continuous_function]]와 [[매끄러운함수,smooth_function]]의 차이? Google:continuity+smoothness Google:연속성+매끄러움 == semicontinuity , semi-continuity == semicontinuity , semi-continuity 연속성보단 좀 약한 개념 directional continuity와 같은건지? chk. (via [[WpEn:Continuous_function#Directional_and_semi-continuity]]) https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-continuity ko interwiki : [[WpKo:반연속_함수]] 번역어는? 2022-06-13 현재 https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=continuity 를 보면 semi continuity / semi-continuity / semicontinuity 는 따로 없고 { approximate lower semi continuity 근사 아랫부분 연속성 approximate upper semi continuity 근사 위쪽부분 연속 } 이 둘이 있음 == hemicontinuity == hemicontinuity n. hemicontinuous adj. hemicontinuity upper_hemicontinuity lower_hemicontinuity multivalued_function / multivalued_mapping 쪽으로 확장한 것인가? WtEn:hemicontinuous <- WtEn:hemicontinuity WpEn:Hemicontinuity = https://en.wikipedia.org/wiki/Hemicontinuity 2022-06-13 현재 번역어 kms에 없음 => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=Hemicontinuity = Bmks ko = https://mathlyblog.wordpress.com/2016/01/01/연속성continuity/ { (직관적으로?) [[정의역,domain]]의 값이 '살짝' 변하면 대응하는 함수값도 '살짝' 변하는. 함수의 연속성은 위상수학([[위상,topology]])에서 간단하게 표현됨 : [[위상공간,topological_space]] $X,Y$ 사이의 [[함수,function]] $f:X\to Y$ 가 있을 때, $Y$ 의 모든 [[열린집합,open_set]] $U$ 에 대해 $f^{-1}(U)$ 가 $X$ 에서 열린집합일 때, $f$ 를 연속이라 말한다. ''치역의 모든 open set에 대해 그 inverse_image가 모두 open_set이다? chk'' rel. [[호모토피,homotopy]] } ---- https://mathworld.wolfram.com/Continuity.html - 본문은 한 줄 "The property of being continuous." 설명은 See also에 나열된 것에 분산(?) https://mathworld.wolfram.com/Continuous.html https://planetmath.org/continuous https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Continuity ([[실수,real_number]] 정의, [[거리공간,metric_space]] 정의, [[위상공간,topological_space]] 정의) https://en.citizendium.org/wiki/Continuity https://everything2.com/title/continuous Up: [[해석학,analysis]]