오차함수(error function) erf
보상오차함수, 여오차함수 (complementary error function) erfc
 https://mathworld.wolfram.com/Erfc.html
복소오차함수(imaginary error function) erfi
 https://mathworld.wolfram.com/Erfi.html
inverse error function erf^^-1^^
inverse complementary error function erfc^^-1^^

// from Lec 21 | MIT 18.01 Single Variable Calculus, Fall 2007 23:21
$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt$
 $=\frac{2}{\sqrt{\pi}}F(x)$
  F가 무엇이더라..

// from 공업수학I p.68
$\operatorname{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt$

$\operatorname{erf}(x)+\operatorname{erfc}(x)=1$

wpko{
오차함수는 [[정규분포,normal_distribution]]의 [[누적분포함수,cumulative_distribution_function,CDF]]와 본질적으로 동일하다.
} - ''따라서 정규분포의 [[확률밀도함수,probability_density_function,PDF]]와도 밀접, pdf 페이지에도 여러 번 언급.''

같은 것인지 CHK
$\operatorname{erf}(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\exp\left(-\frac12t^2\right)dt$
----
[[Date(2021-08-04T10:15:24)]] from namu; chk

오차함수 error function $\text{erf}$
 $\text{erf}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt$
양변을 $x$ 에 대해 미분하면
 $\int e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}(x)+C$
형태는 sigmoid. ''([[시그모이드함수,sigmoid_function]] 비슷?)''
성질:
 * $|\text{erf}(x)|\le 1$
 * $\text{erf}(x)=-\text{erf}(-x)$ - 기함수, 홀함수
 * 복소수 $z$ 에 대해, $\text{erf}(z^*)=\text{erf}^*(z)$

여오차함수 complementary error function $\text{erfc}$
 $\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)$
 $\text{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt$

복소오차함수 imaginary error function $\text{erfi}$
 $\text{erfi}(x)=-i\text{erf}(ix)$
 $\text{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}dt$
미분하면
 $\int e^{x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erfi}(x)+C$

----
AKA '''erf, Gauss error function'''

Twins:
[[WpKo:오차_함수]]
[[Namu:오차함수]]
[[WpEn:Error_function]]
[[https://mathworld.wolfram.com/Erf.html]]

https://en.citizendium.org/wiki/Error_function

tmp
https://everything2.com/title/error+function

Up: [[오차,error]] [[함수,function]]


related? :
[[프레넬_적분함수,Fresnel_integral]] // proper pagename??
{
제곱(이차함수) → sin(또는 cos) → 적분

사인과 코사인 두가지 버전이 있음. 프레넬 싸인 적분 함수 및 코사인 적분 함수
 $S(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$
 $C(x)=\int_0^x\cos(t^2)dt$
또는(t^2 앞의 계수 차이는 뭐지?? MKCLEAR)
 ${\rm FresnelS}(x)=\int_0^x\sin\left(\frac{\pi}2\cdot t^2\right)dt$
 $\text{FresnelC}(x)=\int_0^x\cos\left(\frac{\pi}2\cdot t^2\right)dt$

----
[[사인적분함수,sine_integral_function]]의 정의
 $\text{Si}(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{t} dt$
여기서 피적분함수는 $x=0$ 일 때 $1$ 이다.

[[Fresnel_sine_integral_function]]의 정의
 $S(x)=\int_0^x \sin\left( \frac{\pi}{2}t^2 \right)dt$

(Zill 6e ko p71 chap2.3 연습문제 43-44)

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$\operatorname{erf}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt$ 이다
$\int_a^b e^{-t^2}dt=\frac12\sqrt{\pi}\left[\operatorname{erf}(b)-\operatorname{erf}(a)\right]$ 임을 보여라 - Stewart 연습문제

----
related:
[[오차함수,error_function]]
그리고 이걸 일반화한 Böhmer integral - [[WpEn:Böhmer_integral]] ... Boehmer_integral ?

tmp links en:
https://www.calculushowto.com/fresnel-integrals/

Twins:
[[https://mathworld.wolfram.com/FresnelIntegrals.html]]
[[WpEn:Fresnel_integral]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fresnel_integrals

Up: [[함수,function]], [[특수함수,special_function]]
}