[[수열,sequence]] (a,,n,,)의 모든 n에 대하여
 a,,n,, < M
인 실수 M이 존재하면 수열 (a,,n,,)은 '''위로 유계'''(bounded above)라고 한다.

마찬가지로, 수열 {a,,n,,}의 모든 n에 대하여
 a,,n,, > m
인 실수 m이 존재하면 수열 (a,,n,,)은 '''아래로 유계'''(bounded below)라고 한다.

위로 유계이면서 아래로도 유계인 수열은 '''유계인 수열'''(bounded sequence)라고 한다.
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수열말고 집합의 bounded의 정의는 여기 참조:
https://blog.naver.com/at3650/220053524075 중간
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TBW

compact, bounded, closed 비교서술할것. // 각각 명사형 WtEn:compactness WtEn:boundedness WtEn:closedness (or WtEn:closure ?) ?

위로유계 bounded_above - 상계 upper_bound
아래로유계 bounded_below - 하계 lower_bound
위 표현 맞는지 그리고 좌우 어떤 관계인지 chk

당연히 '크기 비교 연산(자)'를 여기에 링크하는 게 필수인데 저거 pagename?
 [[측도,measure]]에 대한 [[비교,comparison]] [[이항연산,binary_operation]] [[이항연산자,binary_operator]]?
 [[부등호]]에 대한 링크가 필요(한데 현재 page 없고 [[부등식,inequality]]은 있고)
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tmp 각종정의모음 tocleanup

bounded_below
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Bounded_Below
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Bounded_Below_Mapping/Real-Valued

... 많아서 대충 url만 나열

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Unbounded_Below
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Lower_Bound
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Upper_Bound
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Bounded_Above
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Unbounded_Above
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Bounded - 맡에 twins에도추가했음.
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Unbounded
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Bound - bound페이지에 twin으로 추가함.


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Topics or Sub

[[유계수열,bounded_sequence]] ..... [[수열,sequence#s-8]]
 정리: 수렴하는 수열은 유계이다.[* 맛있는해석학 4e 정리 3.1.13]
 Up: [[유계,bounded]] [[수열,sequence]]
[[유계함수,bounded_function]]
 [[WpEn:Bounded_function]]
 [[WpKo:유계_함수]]
 https://planetmath.org/boundedfunction
 무계 함수(unbounded function) : 유계 함수가 아닌 함수 Google:무계함수
  Google:비유계함수 ?
 맛있는해석학 4e 정의 3.1.12 함수의 유계성 참조.
 Up: [[해석학,analysis]] [[유계,bounded]] [[함수,function]]
[[유계범함수,bounded_functional]]
 Up: [[유계,bounded]] [[범함수,functional]]
[[유계집합,bounded_set]]
 [[WpKo:유계_집합]]
 [[WpEn:Bounded_set]]
 https://mathworld.wolfram.com/BoundedSet.html
 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Bounded_set
 Up: [[유계,bounded]] [[집합,set]]
유계공간,bounded_space
 거의 언급 안되고, 그 sub인 Google:완전유계공간 totally_bounded_space (totally bounded space) aka Google:프리콤팩트공간 precompact_space (precompact space) 이 자주 언급됨.
  https://ncatlab.org/nlab/show/precompact+space
bounded_lattice - [[유계격자,bounded_lattice]]? [[격자,lattice]]. rel: [[헤이팅_대수,Heyting_algebra]]
bounded_operator - 작성중
bounded_variation 또는 function_of_bounded_variation = BV_function - 작성중, tmp see:
 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669360&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 유계변동함수]]
 WpEn:Bounded_variation
 https://mathworld.wolfram.com/BoundedVariation.html

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수렴하는 모든 수열은 '''유계'''
그 역은 참이 아님
다만 [[단조수열,monotonic_sequence]]의 경우 참임, ('''유계'''이면 수렴converge), 이것을 실수의 완비성 (completeness of real numbers)라고 함
[[완비성,completeness]]
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[[자연수,natural_number]] 집합 $\mathbb{N}$ 은 위로유계가 아니다.
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단조수열정리 Monotonic sequence theorem:
모든 유계 단조 수열은 수렴한다.
'''유계'''인 단조수열은 항상 수렴한다.
monotonic_sequence_theorem
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Completeness axiom
completeness_axiom
If S is a set that has an upper bound, $(x\le M,\forall x\in S)$
then S has a least upper bound b.
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표현

bound, boundary 경계 - [[경계,bound]]
'''bounded 유계'''
bounded above 위로 유계
bounded below 아래로 유계
upper bound 상계 - [[상계,upper_bound]]
lower bound 하계 - [[하계,lower_bound]]
supremum 상한 = least upper bound 최소상계 - [[상한,supremum]]
infimum 하한 = greatest lower bound 최대하계 - [[하한,infimum]]

집합 $X$ 의 상한과 하한 기호 : $\sup X,\,\inf X$
$\sup=\textrm{lub}$
$\inf=\textrm{glb}$
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정의
함수 $f:D\to\mathbb{R}$ 에 대해
적당한 실수 $m,M$ 이 존재하여
임의의 $x\in D$ 에 대해
 $m\le f(x)\le M$
이면 $f$ 를 '''유계(bounded)'''라 한다.

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상극한(limit superior, upper limit) $\limsup$
하극한(limit inferior, lower limit) $\liminf$
[[Libre:상극한과_하극한]]

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[[유계성,boundedness]]

(정의) 유계성 boundedness
집합 S에 속한 임의의 x, y에 대해
d(x, y) < M인 상수 M이 존재하면 ''(d는 [[거리,distance]])''
집합 S는 유계(bounded)하다고 한다.

(이승준)

= Etc, Misc =
[[자료구조,data_structure]]에서? 혹은 [[스택,stack]]과 [[큐,queue]]에서만?
 여기선 'bounded'는 item 개수가 (i.e. 크기가) 고정되어 있다는 뜻.[* https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/boundedqueue.html]
  APL에서 array의 bound는 원소의 개수(=길이).[* https://aplwiki.com/wiki/Bound]
자료구조가 unbounded라는 것은 가능한 [[크기,size]]/[[길이,length]]가 무한함을 (즉 size/length의 upper limit가 없음을) 뜻하는 듯? CHK. ex. [[튜링_기계,Turing_machine]]는 unbounded tape를 가짐.[* https://esolangs.org/wiki/Turing_machine]
 ... Try: Ggl:"unbounded data structure" Bing:"unbounded data structure"

MKL ( [[infinite_data_structure]] ex. [[스트림,stream]] / [[coinduction]] WpEn:Coinduction / [[codata]] )

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Related: [[구간,interval]] [[순서집합,ordered_set]]
 [[실수,real_number]] 구성과 관련? CHK

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Twin:
[[Libre:유계]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405257&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 유계]]
https://mathworld.wolfram.com/Bounded.html
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Bounded

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1132092&cid=40942&categoryId=32217 두산백과: 유계 bounded]]

Up: [[해석학,analysis]] [[경계,bound]]

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Wikiadmin:
'''''[[경계,bound]]와 밀접한데 합칠지 말지 TBD'''''
이 페이지는 형용사형 이름, pagename via KmsE:bounded .... 해당하는 최선의 명사형은? 그리고 그 최선의 번역은?
 '''''Google:boundedness  ? ''''' '유계성,boundedness'? ... Srch:boundedness ... WtEn:boundedness
 KmsE:boundedness 보니 저기도 '유계성'이라 한다. 이게 아마 최선인 듯. [[유계성,boundedness]]작성하거나 이 페이지를 rename하거나. TBD.
 cf. KmsE:bounded

TBW SUB [[유계수열,bounded_sequence]] { bounded sequence "bounded sequence" Ggl:"bounded sequence" Ndict:유계수열 Ggl:유계수열 ... Page name via: KmsE:"bounded sequence" }