이항계수,binomial_coefficient

기호: 다양한데 tbw




(상식으로 대충 적음, CHK and rewrite)
이것은 전개,expansion(esp 이항전개,binomial_expansion)공식에서 나오는 계수,coefficient를 일반적인 n차에 대해 식으로 나타낸 것?
일단 n차를 알아보기 전에 간단한 경우인 n=1,2,3,...부터 보면, 그리고 앞에 0차도 추가하면
(a+b)0=1 1
(a+b)1=a+b 1 1
(a+b)2=a2+2ab+b2 1 2 1
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 1 3 3 1
이렇게 파스칼_삼각형,Pascal_triangle이 나오며
일반적인 경우는 조합,combination으로 계산한다.
(a+b)n에서 an−kbk의 계수는 nCk이다.
그리고 이항계수를 사용한 전개,expansion에서 나오는 계수를 설명하는 이항정리,binomial_theorem
(a+b)n = nC0 an + nC1 an−1 b + nC2 an−2 b2 + … + nCk an−k bk + … + nCn bn


n개 중에서 k개를 선택하는 조합,combination의 수
이것을 binomial coeffient라고 하며
$\binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!}=C^n_k$
영어로는 "n choose k"라고 읽는다.

더 경우가 많아지면(?) 더 일반화하면
$n=k_1+k_2+\cdots+k_{\mathcal{J}}$ 일 때
$\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_{\mathcal{J}}!}$
이것을 다항계수,multinomial_coefficient라고 함.
binomial coefficient는 multinomial coefficient에서 $\mathcal{J}=2$ 인 경우임.
see also: multinomial probability law - curr. goto 확률,probability

(Leon-Garcia)


계승,factorial의 성질에서 $0!=1$ 이므로
$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$