<> = 1 = [[결과,outcome]]가 2가지. (3가지 이상일 때는 [[다항분포,multinomial_distribution]] 참조) 이고 확률 $p$ 인 [[시행,trial]]을 $n$ 번 했을 때, ... [[평균,mean,average]]은 $np$ [[분산,variance]]은 $np(1-p)$ ...CHK 표기: $X\sim\mathrm{B}(n,p)$ 혹은 $\mathrm{Bin}(n,p)$ 여기서 $n$ : 시행 횟수, number of observation, [[베르누이_시행,Bernoulli_trial]]의 반복 횟수, ... 양의 정수. $p$ : 발생 확률(probability of occurrence), 각 시행의 성공 확률, ... $[0,1]$ 내의 실수. $X$ : $n$ 번 시행 중 성공의 횟수 성공 확률이 $p$ 인 베르누이 시행을 $n$ 번 반복해서 성공횟수가 확률변수 $X$ 이면, X가 [[이항확률변수,binomial_random_variable]]이다. ---- 각 베르누이 시행은 서로 독립이다. (독립시행) 1회 시행마다 사건이 일어날 확률 p, 일어나지 않을 확률 (또는 여사건이 일어날 확률) q(=1-p)라 하고, n회의 독립시행 중 사건이 일어나는 횟수가 X이면, X는 0, 1, 2, …, n중 한 값을 가지는 확률변수이며, X=x가 되는 확률은, i.e. X의 [[확률질량함수,probability_mass_function,PMF]]는 $P(X=x)=\binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}$ (계수는 [[이항정리,binomial_theorem]]에 의해 계산할 수 있다.) 이런 분포를 '''이항분포'''라 하고, 기호로 ${\rm B}(n,p)$ 로 나타낸다. 이항분포에서 $1-p=q$ 라고 하면 $(p+q)^n$ 의 [[이항정리,binomial_theorem]]의 일반항과 같은 모양이 나온다. [[이항계수,binomial_coefficient]] Ex. 주사위를 7번 던진다면 ${\rm B}(7, \frac16)$ 주사위를 4회 던져서 6이 2회 나올 확률: ${}_4{\rm C}_{2}\left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{25}{216}$ $n=1$ 인 경우는 [[베르누이_분포,Bernoulli_distribution]]. $X\sim\operatorname{B}(1,p)$ 베르누이 분포는 '''이항분포'''의 특수한 경우이다. (시행 횟수가 한번인 경우) 시행 횟수 $n$ 이 충분히 커지면 '''이항분포''' $B(n,p)$ 는 [[표준정규분포,standard_normal_distribution]] $N(np,npq)$ 에 가깝게 된다. ---- // ㄷㄱㄱ week 7-1 14m '''Binomial Distribution''' $\bullet\; X\sim\text{B}(n,p)$ - [[이항확률변수,binomial_random_variable]] $\bullet\; P_X(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \;\text{ for }\; x=0,1,2,\cdots,n$ $\bullet\; \text{E}[X]=np$ $\bullet\; \text{Var}[X]=np(1-p)$ The number of successes among 𝑛 [[베르누이_시행,Bernoulli_trial|Bernoulli trail]]s • When transmission error probability is 0.1, probability to have 2 errors for 10 transmissions 𝑝 = 0.19 https://i.imgur.com/nF57GaOl.png $n$ 이 커질수록 bell shape로 감을 볼 수 있다 ---- [[베르누이_시행,Bernoulli_trial]]에서 한쪽 사건이 일어날 확률(성공확률이라고 하는 일이 많다)을 알고 있을 때 이 시행을 $n$ 번 반복했을 때 그 사건이 일어나는 횟수(성공 횟수)는 '''이항분포'''를 따른다. ||$X$ ||$0$ ||$1$ ||$2$ ||$\cdots$ ||$n$ || ||확률 ||${}_n\text{C}_0 (1-p)^n$ ||${}_n\text{C}_1 p (1-p)^{n-1}$ ||${}_n\text{C}_2 p^2 (1-p)^{n-2}$ ||$\cdots$ ||${}_n\text{C}_n p^n$ || $(0 [[이산확률분포,discrete_probability_distribution]]