'''1의 거듭제곱근 - root of unity''' : 거듭제곱하여 1이 되는 복소수
'''1의 n제곱근 - nth root of unity''' : n제곱하면 1이 되는 복소수
보통 한 식에 n개씩 나오므로 복수형을 써서 '''roots of unity'''로 자주 언급됨

지수를 양의 정수로 [[거듭제곱,멱,power]]하여 (i.e. 같은 것을 양의 정수 번 곱하여) 1이 되는 [[복소수,complex_number]].
Any complex number that yields 1 when raised to some positive integer power n.

$n$ 이 양의 정수이면(1, 2, 3, …),  ${\bf n}$ '''th root of unity'''는
 $z^n=1$
을 만족하는 $z.$

이 [[근,루트,root]]/[[해,solution]]들은 [[단위원,unit_circle]] 위에 $(1,0)$ 을 기준으로 $n$ 개가 동일 간격으로 배열된 점....? 즉 그 [[각,angle]]은 $\frac{2\pi}{n}$ 의 정수배, 즉 저거 곱하기 {0,1,...,n-1} ... ... chk
(비교:
 [[복소평면,complex_plane]]위에서,
 '''1의 거듭제곱근'''들은 [[단위원,unit_circle]] 위의 점들,
 (어떤 수)의 [[거듭제곱근,nth_root]]들은 중심이 [[원점,origin]]인 [[원,circle]] 위의 점들,
 다항식이 좀 복잡해지면 or 더이상 원 모양이 아니고 어떤 곡선모양...? 리마송 같은 모양도 있고....tbw
) - chk

식
 $x^n=1$
을 만족하는 $x,$ 즉 1의 n제곱근은 n개이며 그 꼴은
 $\exp(2\pi ik/n)$
여기서
 $k=0,1,2,\cdots,n-1$
## from wpko

기호는 $n$ 개 중 $k$ 번째를 다음과 같이 표기:
 $\zeta_k, \ \epsilon_k$
## from mathworld RootOfUnity. 아래 잉크있음, 번역 확실여부 chk

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A complex number $a$ is called an n-th '''root of unity''', if
 $a^n=1.$
$(n\in\mathbb{N})$

각 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해, 다음과 같은, 서로 다른, 정확히 n개의, n-th '''roots of unity'''
 $\zeta_r:=\cos\frac{2\pi r}{n}+i\frac{2\pi r}{n},\quad 0\le r < n$
가 있다.

= 최성우 =
$z^n=1$ 의 해 $(z\in\mathbb{C})$
 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$
라고 하자.
$\to\; z^n=r^ne^{in\theta}=1=1e^{i\cdot 0}$
$\to$
 $r^n=1 \; (r>0,r\in\mathbb{R})$ : 유일하게 결정
 $n\theta=2\pi k, \; k\in\mathbb{Z}$
  여기서 $\theta=\frac{2\pi}{n}\cdot k$ 이므로 [[복소평면,complex_plane]]을 생각하면 $\theta$ 는 (단위원을 n등분 한 각)의 정수배.

따라서 $z^n=1$ 의 해는
 $z=\cos\left(\frac{2\pi}{n}k\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{n}k\right)$
  $=e^{i\frac{2\pi}{n}k}\;\;(k=1,2,\cdots,n)$
이런 n제곱했을때 1이 되는 근은 '''단위 n승근'''(primitive nth roots of unity)

ex.
 $z^2=1$
 $z=e^{i\frac{2\pi}{2}2},\,e^{i\frac{2\pi}{2}1}$
  $=e^{i\cdot 0},\,e^{i\cdot\pi}$
  $=\pm 1$
ex.
 $z^3=1$
 $z=1,\,e^{i\frac{2\pi}{3}},\, e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
  $=1,\, \cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3},\, \cos\frac{2\pi}{3}-i\sin\frac{2\pi}{3}$
  $=1,\,-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2},\,-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

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(참고로 이하 일반적인 수의 n승근)
$z^n=z_0$ 의 해 (z,,0,,: 정해진 복소수)

$z_0=r_0e^{i\theta_0},\, z=re^{i\theta}$ 라고 놓자
$\to\; r^ne^{in\theta}=r_0e^{i\theta_0}$
$\to$
 $r^n=r_0 \;\to\; r={r_0}^{\frac1{n}}(>0)$ 실수는 하나로 정해지고,
 $n\theta=\theta_0+2\pi k$
  $\theta=\frac{\theta_0}{n}+\frac{2\pi}{n}k \;(k\in\mathbb{Z})$

Ex. $z^3=8i=8e^{i\frac{\pi}{2}}$
 $r_0=8,\;\theta_0=\frac{\pi}{2}$
 ${r_0}^{\frac13}=2$
 $\frac{\theta_0}{n}=\frac{\pi}{2}/3=\frac{\pi}{6}$

30­°에서 $2(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac12)$
150°에서 $2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac12)$
270°에서 $-2i$
##http://www.kocw.net/home/cview.do?mty=p&kemId=1128981 2강 24분

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Twins:
[[WpKo:1의_거듭제곱근]]
[[WpEn:Root_of_unity]] (occasionally called a '''de Moivre number''')
https://mathworld.wolfram.com/RootofUnity.html
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Root_of_Unity
https://everything2.com/title/nth+roots+of+unity
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Roots_of_unity

기타 관련된 몇가지 단어들 (내용 짧음)
https://mathworld.wolfram.com/deMoivreNumber.html
https://mathworld.wolfram.com/CyclotomicEquation.html { Google:cyclotomic .. 그리고 이름 비슷한 cyclotomic_polynomial => https://everything2.com/title/cyclotomic+polynomial }
https://mathworld.wolfram.com/PrimitiveRootofUnity.html
 [[primitive_root_of_unity]]
 이건 [[원시근,primitive_root]] and '''일의거듭제곱근,unity_root'''? chk.
 최선의 번역은?
 Google:Primitive.Root.of.Unity
https://mathworld.wolfram.com/PrincipalRootofUnity.html

특히 여기서 unity는 1을 뜻함. // rel. [[unity]] [[단위,unit]]? [[하나,one]]
https://mathworld.wolfram.com/Unity.html

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관련 related
 [[제곱근,square_root]] - n=2이고 우변이 1이 아닐 수도 있는 경우. chk
 [[거듭제곱근,nth_root]] - n=(정수? 자연수?...TBW)이고 우변이 1이 아닐 수도 있는, 즉 더 일반적인 경우. chk
  공통: nth_root_of_unity ... https://everything2.com/title/nth+roots+of+unity https://everything2.com/title/n+nth+complex+roots+of+unity
 [[드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula]]
약간 관련:
 [[주치,principal_value]]
 [[복소함수,complex_function]] curr goto [[함수,function#s-38]]


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Up:
 [[근,루트,root]] or [[거듭제곱근,nth_root]] curr goto [[제곱근,square_root]]
 복소근 complex_roots
 [[복소수,complex_number]]
 [[복소해석,complex_analysis]]