#noindex
'''임펄스 응답(impulse response)'''

정의: 어떤 [[선형시스템,linear_system]]에 임펄스 $\delta(t)$ 를 입력했을 때의 출력

표기:
 $h(t)$ : continuous-time system impulse response
 $h[n]$ : discrete-time system impluse response
## 위 둘은 from Haykin 책 맨 앞 표기안내.

Sub? :
 FIR: finite-duration impluse response
 IIR: infinite-duration impulse response
 ... Google:FIR+IIR , rel. [[필터,filter]]
## 위 둘은 from Haykin 책 맨 앞 abbrev 안내.
시스템의 임펄스 응답은 길이가 유한할 수도 있고(즉, 유한한 개수의 $h[n]$ 샘플만 0이 아니고 나머지는 0임) 무한할 수 있다.
임펄스 응답의 길이가 유한한 경우 FIR(finite impulse response) 시스템이라 하고, 길이가 무한한 경우 IIR(infinite impulse response) 시스템이라고 한다.
(김명진 신시 p423)

QQQ 이건 항상 [[단위임펄스응답,unit_impulse_response]]과 동의어인지 아님 아닌 경우가 있는지?

[[시스템,system]]에
δ(t)를 [[입력,input]]했을 때 나오는 [[출력,output]] h(t)가 '''임펄스 응답'''.

입력이 $x(t)$ 일 때, 선형시스템의 출력을 $\ell[x(t)]$ 로 표기한다고 할 때
> $\delta(t) \to \fbox{\ell[\cdot]} \to h(t)$
(이걸 $h(t)=\ell[\delta(t)]$ 로 나타낸다)

__일반적 입력 $x(t)$ 에 대한 선형시스템의 출력__
먼저 입력을 적분식으로 바꾸어 쓴다.
 $x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$
시스템의 출력 식 $y(t)=\ell[x(t)]$ 에 대입한다.
 $y(t)=\ell[x(t)]=\ell\left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau \right] = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\ell[\delta(t-\tau)]d\tau$
([[적분,integration]]과 $\ell$ 은 다 [[선형성,linearity]]이 있으므로(i.e. [[선형연산자,linear_operator]]이므로) $\ell$ 이 저렇게 들어갈 수 있다 or 적분연산이 나올 수 있다)
여기서, $\ell[\delta(t-\tau)]$ 는 지연된 임펄스에 대한 시스템 출력이므로, 시불변에 의해 $\ell[\delta(t-\tau)]=h(t-\tau)$ 이다. 이것을 대입하면 시스템 출력:
 $y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau$
이 [[적분,integration]]을 $x(t)$ 와 $y(t)$ 의 [[합성곱,convolution]]이라 부르며, 간단히 아래와 같이 연산자 $*$ 를 써서 나타낸다.
 $y(t)=x(t)*h(t)$

정리하면 LTI system에서 임의의 [[입력,input]]에 대한 [[출력,output]]은, (모든 입력을 일일이 집어넣어 볼 필요 없이,)
'''임펄스응답'''만 알고 있다면 입력과의 convolution 적분으로 알아낼 수 있다.

__convolution의 성질__
(14:10)
기호: $*$
성질:
 1. 교환성 ([[교환법칙,commutativity]]) $f(t)*g(t)=g(t)*f(t)$
 1. 분배성 ([[분배법칙,distributivity]]) $f(t)*[g(t)+h(t)]=f(t)*g(t)+f(t)*h(t)$
 1. 결합성 ([[결합법칙,associativity]]) $f(t)*[g(t)*h(t)]=[f(t)*g(t)]*h(t)$
 1. 추이성(shift property) (22:30)
 $f(t)*g(t)=C(t)$ 일 때,
 $f(t)*g(t-T)=C(t-T)$ (하나를 delay한 것의 convolution은 convolution의 delay와 같다) (convolution은 시불변이다. i.e. convolution operator는 time invariant.)
 $f(t-T)*g(t)=C(t-T)$
 $f(t-T_1)*g(t-T_2)=C(t-T_1-T_2)$
 1. impulse와의 convolution (동영상 2.-2 '컨볼루션 적분')
 $f(t)*\delta(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)$
 (impulse는 convolution operator의 [[항등원,identity_element]]이다)
 (- 좀 찾아보니 엄밀한 건 아니고 '항등원 역할을 한다' 정도? chk. Google:impulse+convolution+identity.element )
 1. 폭(width): $f_1(t)$ 의 폭이 $T_1$ 이고 $f_2(t)$ 의 폭이 $T_2$ 라면 $f_1(t)*f_2(t)$ 의 폭은 $T_1+T_2$
 1. [[인과성,causality]]과 관련하여
 인과적 신호  // causal_signal ?
  $f(t)=0$ if $t<0$
 인과적 시스템의 '''임펄스 응답''' // impulse response of causal_system ?
  $h(t)=0$ if $t<0$

// via 최권휴 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1263807 2. 임펄스 응답 과 컨볼루션

= CHK =
어떤 [[시스템,system]]의 '''impulse response'''는 [[impulse_function]](curr. [[디랙_델타함수,Dirac_delta_function]]) $(\delta)$ 을 그 system에 입력했을 때 나오는 출력?
중요하므로 그냥 $y$ 뿐만 아니라 $h$ 라는 별도의 표기 문자가 있는?

(이하 여러 언급들, chk)

'''impulse response'''를 알면 임의의 입력에 대한 출력을 알 수 있다.

'''impulse response'''가 [[시스템,system]]에 관해 어떤 입력이 들어갔을 때 어떤 출력이 나오는지에 대해 모든 것을 알고 있다.

'''impulse response'''를 아는 것은 시스템을 아는 것이다.

system에 대한 얘기를 '''impulse response'''에 대한 얘기로 환원할 수 있다.

----
MKLINK
[[임펄스함수,impulse_function]] - curr at [[함수,function#s-13]]
[[단위임펄스함수,unit_impulse_function]]

[[라플라스_변환,Laplace_transform]]
[[전달함수,transfer_function]]
이것(unit impulse response)의 라플라스 변환은 시스템의 전달함수 H(s).
transfer function of system = H(s) = Laplace transform { '''unit impulse response''' }.

[[영역,domain]]관련해
[[시간영역,time_domain]] - '''임펄스응답'''
[[주파수영역,frequency_domain]] - [[주파수응답,frequency_response]]

AKA '''unit sample response'''[* https://youtu.be/75y0U5JARCc?t=1360]

----
[[WpEn:Impulse_response]]

[[신호및시스템,signals_and_systems]]

Up: [[응답,response]]