자연수 집합 표기: N의 [[칠판_볼드체,blackboard_bold]] : ℕ, $\mathbb{N}$

자연수 집합은 정의에 따라 0을 포함하기도 하고 포함하지 않기도 하므로 주의.

ℕ,,0,, = {0, 1, 2, …}
ℕ,,1,, = {1, 2, 3, …}

또는 ISO에 의하면 ([[https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf#page=12 src]])
 $\mathbb{N}=\left{0,1,2,\ldots\right}$
 $\mathbb{N}^*=\left{1,2,3,\ldots\right}$

자연수는 다음 네(세) 가지로 분류할 수 있음
 * 0 (자연수에서 제외하기도 함)
 * 1
 * [[소수,prime_number]]
 * [[합성수,composite_number]]

= 비슷한 성질의 집합 =
[[정수,integer]]와 겹치는 내용(즉 공통 성질)이 많음
영어 'whole number' - ambiguous term; see [[WpEn:Whole_number]].

= 페아노 공리 Peano axioms =
[[페아노_공리,Peano_axiom]]

자연수의 집합 ℕ은 다음 성질을 갖는다.
 (A) ℕ≠∅이고, ℕ은 1이라는 원소를 가진다.
 (B) 각 x∈ℕ에 대해 x 계승자 x'∈ℕ이 유일하게 존재한다.
 (C) 임의의 x∈ℕ에 대해 x'≠1이다.
 (D) 임의의 x,y∈ℕ에 대해 x'=y' ⇒ x=y 이다.
 (E) S≠∅이고 S⊂ℕ이라고 하자. 그리고 다음을 가정하자.
  ⒜ 1∈S
  ⒝ x∈S ⇒ x'∈S
  이 때 다음이 성립한다.
  S=ℕ

얘기:
 1의 계승자''(WtEn:successor 의 번역이 확실)'' 1'.
 1은 어떤 자연수의 계승자도 아님. 즉 임의의 자연수 x에 대해 x'=1은 성립하지 않음.
 (D)의 대우는 x≠y ⇒ x'≠y'. 서로 다른 자연수는 그 계승자가 같을 수 없음.
 (E)는 [[수학적귀납법,mathematical_induction|수학적 귀납법]]의 공리라고 함.

1889년
(10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리)

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'''자연수'''를 집합을 통해 정의/구성할 수 있음 - see [[집합,set#s-4]](집합을 통한 자연수 구성)
[[페아노_공리,Peano_axiom]]

= 특성 =
ℕ은 정렬순서집합(well-ordered set)이다. // well-ordered_set [[well-ordered_set]] [[WtEn:well-ordered_set]]
(∅≠S)⊆ℕ은 최소의 원소 m을 갖는다. // minimal_element or minimum_element ? //pagename 최소원? 최소원소? 극소원? 극소원소? cf. KmsE:minimal KmsE:minimum
i.e.
임의의 (공집합이 아닌) 자연수의 부분집합은 최소의 원소를 갖는다.
(관련 내용/링크 있는 페이지: WpKo:정렬_원순서_집합 ... [[정렬원순서집합]] is 'well preordered set, well quasiordered set' ... Ggl:"well preordered set, well quasiordered set" )

[[수학적귀납법,mathematical_induction]]을 위 내용을 써서 설명.

(이후 내용 교재가 없으면 제대로 받아적기 매우 힘듦..)

(Src: [[http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=1263561 부산대 미적 기초]])

'''자연수'''집합의 크기(cardinality) = aleph_null // pagename [[알레프널,aleph_null]]? { aleph null ~~WtEn:aleph_null~~ WtEn:aleph-null WpEn:Aleph_null ? .. Ndict:"aleph null" Up: [[널,null]] }
 $|\mathbb{N}|=\aleph_0$

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See also [[정수론,number_theory]], [[자연수의_분할,integer_partition]]

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Twins:
[[Wiki:NaturalNumber]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Natural_number
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338393&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 자연수]]
 [[페아노_공리,Peano_axiom]], [[페아노_산술,Peano_arithmetic]], '''자연수 집합'''이 [[전순서집합,totally_ordered_set]]임, [[수학적귀납법,mathematical_induction]], 노이만의 집합론적 구성 언급.
https://ncatlab.org/nlab/show/natural+number

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Natural_Numbers
https://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html
https://planetmath.org/naturalnumber

Up: [[수의_집합]]