전미분,total_differential

$\operatorname{d}f$ : total differential of $f$

$\operatorname{d}f(x,y,\cdots)=\frac{\partial f}{\partial x}\operatorname{d} x+\frac{\partial f}{\partial y}\operatorname{d}y+\cdots$

from ISO 80000-2 https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf#page=23

간단한 2변수인 경우

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

는 그림으로 이해할 수 있다.

from https://youtu.be/pgssBtVjz2M?t=142

미분가능한 일변수함수 $y=f(x)$ 에 대해 미분,differential $dx$ 를 독립변수,independent_variable로 정의한다.
즉 $dx$ 는 임의의 실수로 주어질 수 있다.
이 때 $y$ 의 미분을 다음과 같이 정의한다.

$dy=f'(x)dx$

미분가능한 이변수함수 $z=f(x,y)$ 에 대해 미분 $dx$ 와 $dy$ 를 독립변수로 정의한다.
즉 $dx$ 와 $dy$ 는 임의의 값으로 주어질 수 있다.
그러면 미분 $dz$ 는 다음과 같이 정의되고, 이것을 전미분(total differential)이라 한다.

$dz=f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

때때로 기호 $dz$ 대신 $df$ 를 이용하기도 한다.

(Stewart 8e ko p773)

$w=f(x,y,z)$ 이면, 미분 $dw$ 는 독립변수인 미분 $dx,dy,dz$ 로 다음과 같이 정의한다.

$dw=\frac{\partial w}{\partial x}dx + \frac{\partial w}{\partial y}dy + \frac{\partial w}{\partial z}dz$

(Stewart 8e ko p775)

$u=f(x,y)$ 에서
변수 $x$ 가 $x$ 에서 $x+\Delta x$ 로
변수 $y$ 가 $y$ 에서 $y+\Delta y$ 로 변하면
함수값 $u$ 의 변화량 $du$ (전미분)은

$du=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$

전미분이 0이면 함수값은 상수값을 가진다.

$df(x,y)=0$

이면

$f(x,y)=C.$

완전미분방정식,exact_differential_equation 이해에 필요.
{
$M(x,y)dx+N(x,y)dy$ 가 어떤 함수 $f(x,y)$ 의 전미분,total_differential과 같으면, 즉

$\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y),\,\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$

이면

$M(x,y)dx+N(x,y)dy$ : 완전하다(exact)
$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ : 완전미분방정식

$df=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

이것의 해,solution는

$f(x,y)=\text{const.}$

완전미분방정식 판별법 tbw

}

함수 $u(x,y)$ 가 연속인 편도함수를 가지면 그것의 미분,differential 또는 전미분(total differential)은

$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$

이다.

1계 상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE

$M(x,y)+N(x,y)y'=0,\; dy=y'dx$

i.e.

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ ......(1)

에서 미분형식,differential_form $M(x,y)dx+N(x,y)dy$ 가

완전미분exact_differential, 즉 이 형식이 어떤 함수 $u(x,y)$ 의 미분

$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$ ......(2)

이면, 이 상미분방정식을 완전미분방정식,exact_differential_equation이라고 부른다.
그러면 식 (1)은

$du=0$

으로 쓸 수 있고, 적분하면 바로 식 (1)의 일반해를

$u(x,y)=c$

형태로 얻는다. 이 해를 (앞서 언급된 양함수해(explicit solution)와 구별하여) 음함수해(implicit solution)라 부른다.

식 (1), (2)를 비교하면, 만약 적당한 함수 $u(x,y)$ 가 존재해서

$\frac{\partial u}{\partial x}=M,$
$\frac{\partial u}{\partial y}=N$ ......(4)

이렇게 된다면, 식 (1)이 완미방(exact DE)임을 알 수 있다. 이걸로부터 다음과 같이 식 (1)이 exact DE인지 여부를 검증하는 공식을 유도할 수 있다.

$xy$ 평면에서 자체적으로 교차하는 점이 없는 닫힌 곡선을 경계로 갖는 닫힌 영역에서 $M,N$ 이 연속이고 연속인 1계편도함수를 갖는다고 하자. 그러면 식 (4)를 편미분하면

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x},$
$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}$

이고 연속성의 가정에 의해 두 2계편도함수는 서로 같다. 따라서

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

이다. 이 조건은 식 (1)이 완미방이 되기 위한 필요충분조건이다.

식 (1)이 완미방이면, 다음 방법에 의해 함수 $u(x,y)$ 를 구할 수 있다. 식 (4a)로부터 $x$ 에 대해 적분하여

$u=\int Mdx+k(y)$ ......(6)

여기서 $y$ 는 상수로 간주되어야 하고 $k(y)$ 는 적분상수 역할을 한다. $k(y)$ 를 결정하려면 식 (6)에서 ∂u/∂y를 이끌어 내고, 식 (4b)에서 $dk/dy$ 를 구한 다음, $dk/dy$ 를 적분하여 $k$ 를 얻는다.
마찬가지로 식 (4b)에서 $y$ 에 대해 적분하여