AKA '''전체 확률에 대한 정리'''(theorem on total probability), '''전체확률법칙'''(law of total probability), '''전확률공식'''(total probability formula) <> = 설명 = 표본공간 $S$ 의 분할 $A_1,\cdots,A_n$ 이 있을 때, 사건 $B$ 의 확률을 구하는 방법. $P(B)=$ $\sum_i P(B\cap A_i)$ ...바로 교집합의 확률을 더하는 것이다. $\sum_i P(B|A_i)P(A_i)$ 의의: unconditional probability $P[B]$ 를, weighted conditional probabilities([[조건부확률,conditional_probability]])의 합 $\sum_i P(B\cap A_i)$ 으로 구할 수 있다. ---- $S$ 내에 * 분할로 이루어진 $n$ 개의 사건 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 이 있다. (mutually exclusive and exhaustive) * 어떤 사건 $B$ 가 있다. 그러면 사건 $B$ 의 '''전확률(total probability)'''은 $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\cap A_i)=\sum_{i=1}^{n}P(B|A_i)P(A_i)$ 여기에 더해, [[조건부확률,conditional_probability]] 정의로부터 나온 식 $P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$ (Bayes' rule의 가장 간단한 경우) 에 $A=A_i$ 를 적용하면 다음을 얻을 수 있다. $P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(B|A_i)P(A_i)}$ 이것을 [[베이즈_정리,Bayes_theorem]]라고 한다. (Schaum Prob, RV, and RP) = 가장 간단한 경우 CHK = A가 두 개로 분할된 경우 $A(\subset S)$ 의 분할 $A_1,A_2$ 가 있고 $B\subset A$ 가 있을 때 $\begin{align}P(B)&=P(B\cap A)\\&=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)\\&=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)\end{array}$ = 설명 계속 = $A_1,\cdots,A_n$ 이 $S$ 의 분할(partition)일 때, $P(B)=\sum_i P(B\cap A_i) = \sum_i P(A_i)P(B|A_i)$ i.e. P(B) = P(B∩A,,1,,) + P(B∩A,,2,,) + ... + P(B∩A,,n,,) = P(A,,1,,) P(B|A,,1,,) + P(A,,2,,) P(B|A,,2,,) + ... + P(A,,n,,) P(B|A,,n,,) ---- [[표본공간,sample_space]] $S$ 가 상호 배반인 $\lbrace A_1,A_2,\cdots,A_N\rbrace$ 사건의 합으로 표현할 수 있다 가정한다. 즉 $S=\bigcup_{n=1}^{N}A_n \textrm{ with }A_i\cap A_j=\emptyset\textrm{ for all }i\ne j$ 그러면 어떤 [[사건,event]] $B$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다. $B=\bigcup_{n=1}^{N}(B\cap A_n)$ 사건 $B$ 의 확률은 ''상호 배반이니까 단순히 더하기만 하면 되므로'' $P(B)=\sum_{n=1}^{N}P(B\cap A_n)=\sum_{n=1}^{N}P(A_n)P(B|A_n)$ ''from http://contents.kocw.or.kr/document/lec/2012/Hufs/KimMyoungJin/05.pdf p10'' ---- [[표본공간,sample_space]] S의 [[분할,partition]] $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 이 있을 때, 어떤 [[사건,event]] A는 서로 배반인 사건의 합집합으로 나타낼 수 있다. $A=A\cap S$ $=A\cap(B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n)$ $=(A\cap B_1)\cup(A\cap B_2)\cup\cdots\cup(A\cap B_n)$ 따라서 A의 [[확률,probability]]은, $P(A)=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots+P(A\cap B_n)$ $=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A|B_n)$ $=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)$ $=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$ 이 사실은 [[베이즈_정리,Bayes_theorem]]에 쓰인다. (Leon-Garcia p.63) ---- [[분할,partition]]의 정의와 [[조건부확률,conditional_probability]]의 정의로부터 '''전확률 정리'''를 이끌어 낸다. (유도과정은 분할 페이지에도 있음.) '''전확률정리'''로부터 [[베이즈_정리,Bayes_theorem]]를 이끌어낸다. = from RR wiki; to CLEANUP = From http://mathworld.wolfram.com/TotalProbabilityTheorem.html B는 임의의 [[사건,event]]이고, [[상호배타적,mutually_exclusive]] 사건 n개: $A_1,\cdots,A_n$ 가 있고 A,,i,,일 때 B일 [[조건부확률,conditional_probability]]이 $P(B|A_i)$ 이면 $P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+\cdots+P(B|A_n)P(A_n)$ ---- 다음 두 조건 * $A_1,A_2,\cdots,A_n$ : 표본공간 S의 [[분할,partition]] * $P(A_i)>0\quad(i=1,2,\cdots,n)$ 이 만족할 때, 임의의 사건 $B$ 의 확률은 $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$ ---- = Example = Q: 1~10에서 두 숫자를 뽑는다. without replacement. 두번째 숫자가 5일 확률? Sol. A,,1,, : 첫번째에 1을 뽑는 사건 A,,2,, : 첫번째에 2를 쁩는 사건 ... A,,10,, : 첫번째에 10을 뽑는 사건 B : 두번째에 5를 뽑는 사건 P(B)? $A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_{10} = \Omega$ $A_i\cap A_j = \emptyset \textrm{ if } i\ne j$ $P[A_i]=\frac1{10}$ $P[B|A_1]=\frac19$ $P[B|A_2]=\frac19$ ... $P[B|A_i]=\frac19$ if $i\ne5$ $P[B]=\sum_{i=1\\i\ne5}^{10}P[B|A_i]P[A_i]=\frac19 \times \frac1{10} \times 9 = \frac1{10}$ (Example from 랜덤프로세스입문 금오공과대학교 임완수 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1265854) = Example 2 = 생산품 50%를 A라인, 30%를 B라인, 20%를 C라인에서 만들고, 각각 3% 5% 6%의 불량품이 생김. 임의로 선택한 제품이 불량품일 확률은? 임의로 하나의 제품을 선택했을 때 A라인에서 생산되었을 사건을 A, 마찬가지로 B, C 정의하고, 불량품일 사건을 D라 하면 P(D) = P(A∩D) + P(B∩D) + P(C∩D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) + P(C)·P(D|C) = 0.5 × 0.03 + 0.3 × 0.05 + 0.2 × 0.06 = 0.042 from http://blog.naver.com/mykepzzang/220834919339 관련: [[베이즈_정리,Bayes_theorem]] [[확률,probability]] [[조건부확률,conditional_probability]] Twins: [[WpKo:전체_확률의_법칙]] [[WpEn:Law_of_total_probability]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338097&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 전체 확률의 법칙]] Up: [[확률,probability]]