기호 |…|
<<tableofcontents>>
= 절대값 함수 =
[[절대값함수,absolute_value_function]]

실수 x에 대해서
 $|x|=\begin{cases}x&(x\ge 0)\\-x&(x<0)\end{cases}$

그래서 그래프가 V 모양.

[[정의역,domain]]은 $(-\infty,\infty)$
[[치역,range]]은 $[0,\infty)$

'''절대값 함수'''의 도함수는 [[부호함수,sign_function]].
 $\frac{d}{dx}|x|=\operatorname{sgn}(x)$

https://calculus.subwiki.org/wiki/Absolute_value_function

Up: [[함수,function]]

= 성질 =
$|a|=\sqrt{a^2}$

$|a|=|-a|$

$|a| |b| = |ab|$

$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\;(b\ne 0)$

$|a^n|=|a|^n$

$|a+b|\le|a|+|b|$
 Related: [[삼각부등식,triangle_inequality]]

증명 팁:
 $a$ 만 나오는 경우는 $a>0,a=0,a<0$ 으로 경우를 나누어 본다.
 $a,b$ 가 나오는 경우는 $a>0,b>0$ (...등등) 으로 나누어 본다.

(Easy) Suppose $a>0.$ Then
 * $|x|=a$ iff $x=\pm a$
 * $|x|<a$ iff $-a<x<a$
 * $|x|>a$ iff $x>a$ or $x<-a$
(Stewart Appendix A)

= Geometric interpretations =
$|x-c|=d$
 x와 c 사이 거리가 d이다.

$|x-c|>d$
 x와 c 사이 거리가 d보다 크다.

$|x-c|<d$
 x와 c 사이 거리가 d보다 작다.

$0<|x-c|<d$
 x와 c 사이 거리가 d보다 작고, x≠c 이다.

[[거리,distance]]
[[원점,origin]]에서의 거리 = '''절대값'''?
 실직선real_number_line(curr. [[실수,real_number]]), [[복소평면,complex_plane]]에서는 확실. tbw: 확장되면? ex. [[사원수,quaternion]]라던지
두 수의 차의 절대값은 거리와 밀접한데 구체적으로 tbw.
두 [[실수,real_number]]의 [[차이,difference]]의 '''절대값'''은 real_line 위에서 두 실수 사이의 [[거리,distance]]로 해석 가능 - ? 내생각, chk
 차원이 높아져서 벡터의 [[뺄셈,subtraction]]의 절대값은 어떤지... chk, 그냥 단순 확장은 아닌듯, 일단 2d평면 위의 거리의 경우만 보면 제곱-합-제곱근이 들어가서... 이건 [[노름,norm]]관련이고...
  (cf. [[삼각부등식,triangle_inequality]]에서 벡터의 (뺄셈은 아니고 덧셈)의 절대값이 부등식으로 비교되는데..)

이 사실들은 [[극한,limit]]의 엄밀한 정의([[극한_EpsilonDeltaLimitDefinition]])를 하는데 쓰인다.

= 절대값과 구간 =
'''절대값'''과 [[구간,interval]]에 대해.

$a$ 가 임의의 양수이면,

$|x|=a\;\Leftrightarrow\;x=\pm a$
$|x|<a\;\Leftrightarrow\;-a<x<a$
$|x|>a\;\Leftrightarrow\;x>a\text{ or }x<-a$
$|x|\le a\;\Leftrightarrow\;-a\le x\le a$
$|x|\ge a\;\Leftrightarrow\;x\ge a\text{ or }x\le -a$

(Thomas 13e ko 부록)

= 자연스러운 절대값과 그게 아닌 것 =
https://horizon.kias.re.kr/13825/
[[p진수,p-adic_number]] 관련 시리즈 첫번째 글인데 중간 쯤 「‘절대값’이란?」 참조
저기선, 자연스러운 절대값:
 $|x|_{\infty}$
p진 절대값:
 $|x|_{p}$
으로 표기.
5 공리를 만족하면 아르키메데스 절대값archimedean absolute value
그렇지 않은 비非아르키메데스 절대값non-archimedean absolute value
소수 p에 대해 정의할 수 있는 p진 절대값p-adic absolute value

= 복소수 =
[[복소수,complex_number]]의 절대값은 왜 그렇게 정의? 원점부터의 [[거리,distance]]라서 거리를 일반화 한다 그런건가?
 복소수의 경우는 '''modulus'''라는 용어도 쓴다.
  물론 (실수도 복소수이므로) 실수에서도 '''modulus'''라고 한다.[* [[WpEn:Absolute_value]] 첫 문장 "the absolute value or modulus of a real number x, denoted |x|, …"]
  rel. [[complex_modulus]]

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// 복소수의 절대값. rel. [[복소해석,complex_analysis]]
복소수 $z=x+iy$
그것의 켤레([[켤레복소수,complex_conjugate]]) $\bar{z}=x-iy$
해당하는 극좌표 $(r,\theta)$ 즉
 $x=r\cos\theta$
 $y=r\sin\theta$
 $r=\sqrt{x^2+y^2}$
 $\tan\theta=y/x$
일 때 $z$ 의 '''절대값'''( '''modulus or the absolute value''' of $z$ )은
 $|z|=r$
이며
 $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$
로 계산할 수도 있다. 그리고 $\theta$ 는 [[편각,argument|argument]] or amplitude of $z$ 이며
 $\text{arg}z=\theta$
로 쓴다.
$\theta$ 에 $2\pi$ 의 정수배가 더해져도 $z$ 가 동일한데, $-\pi<\theta\le\pi$ 인 경우를 $\text{arg}z$ 의 [[주치,principal_value]]라 하며 $\text{Arg}z$ 로 쓴다.
(Chan Man Advanced Math)

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[[행렬식,determinant]]은 왜 절대값과 기호가 같음?
{
// ALSOIN 행렬식
기호만 같고 전혀 다른 것임에 유의.

행렬식 ≠ 절대값 (주의)

$1\times 1$ 행렬 $A=[a]$ 에 대해, $\det A=|a|=a$ 이다.
예를 들어 $A=[-5]$ 이면 $\det A=|-5|=-5$ 이다.

(Zill 6e ko 8.4 행렬식 p489)

QQQ 행렬에 double vertical bars가 붙으면 행렬식의 절대값? 그리고 그것이 바로 행렬의 [[노름,norm]]? chk
}

[[노름,norm]] - || .. ||
 크기? 절대값 일반화??
절대값과의 관계?

Google:군+위수 (group의 order. Google:order+of+a+group ) 도 같은 기호를 쓰는데. // [[군,group]]의 order. pagename은 [[위수,order]](저걸로 작성중 내용 있음 - [[순서,order]]의 일부분인 'order의 다른 뜻' 이쪽 section)? [[group_order]]? {
(주의: 순서론order_theory의 주제 [[순서,order]]와는 다름. 오히려 [[집합론,set_theory]]의 cardinality에 더 가까운?)
Twins:
https://planetmath.org/orderofagroup
https://mathworld.wolfram.com/GroupOrder.html
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Order_of_a_group
https://ncatlab.org/nlab/show/order+of+a+group
[[WpEn:Order_(group_theory)]]
.... 그리고 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Order 이건 매우 여러가지를 한번에 설명하는 페이지. 참고용. }

[[집합,set]]의 [[cardinality]](writing)의
 기호는 여러가지인데 n(A), |A|, #A, card(A) ... 마지막 것이 제일 명확한데.
 저것은 번역어도 중구난방: {크기, 개수, 농도, ...}

아무튼 |...| 기호는 다양하게 쓰인다. ''Q1. 혹시 절대값이 먼저인지? Q2. 그렇다면 저 기호를 채택한 이유가 절대값과 어떤 유사성이 있기 때문? or not?''

... 이상 이것들 mv to [[표기법,notation]]?

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[[절대수렴,absolute_convergence]]

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기타
[[algebraic_number_theory]]에선 absolute_norm , absolute_trace 도 정의한다..... chkout: https://planetmath.org/normandtraceofalgebraicnumber

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표준어: 절댓값

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Absolute_value - ''modulus, of a real number'' $a$ (다른 EoM 항목보다 훨씬 easy)
https://planetmath.org/AbsoluteValue
https://mathworld.wolfram.com/AbsoluteValue.html
[[WpEn:Absolute_value]]
[[WpKo:절댓값]]
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Absolute_value (del ok)

https://ncatlab.org/nlab/show/absolute+value
http://oeis.org/wiki/Absolute_value
{
실수인 경우는 명백하고, [[복소수,complex_number]] 관련해 Complex norm에서 [[complex_norm]]([[노름,norm]]?) [[complex_modulus]]([[법,modulus]]?) 둘은 같은? - 을 언급
}

Up: [[수학,math]] [[값,value]]