[[무한급수,infinite_series]] 각 항에 [[절대값,absolute_value]]을 취했을 때, [[합,sum]]이 유한한 i.e. 수렴하는 성질.

(항상 양인 항을 더해도 수렴)

비교: [[조건수렴,conditional_convergence]].

절대수렴은 강력한 조건이다. - 뜻?

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절대수렴의 정의

⑴ 급수 $\textstyle\sum|a_n|$ 이 수렴할 때 $\textstyle\sum a_n$ 은 '''절대수렴'''한다고 한다. (absolutely convergent)

⑵ $\textstyle\sum a_n$ 은 수렴하지만 $\textstyle\sum |a_n|$ 은 수렴하지 않을 때 $\textstyle\sum a_n$ 은 [[조건수렴,conditional_convergence|조건수렴]]한다고 한다. (conditionally convergent)


정리: $\textstyle\sum a_n$ 이 절대수렴하면 $\textstyle\sum a_n$ 은 수렴한다.
증명:
 $0\le a_n+|a_n| \le |a_n| + |a_n| = 2 |a_n|$
이므로 [[비교판정법,comparison_test]]에 의하여 $\textstyle\sum(a_n+|a_n|)$ 은 수렴한다.
∴ $\textstyle\sum a_n = \sum(a_n+|a_n|)-\sum|a_n|$ 은 수렴한다.

따름정리: $\textstyle\sum a_n$ 이 발산하면 $\textstyle\sum|a_n|$ 도 발산한다.

(차영준)
## from http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=49c6b66ca646794b 11. 절대수렴 / 거듭제곱 0m

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정의: 절대 수렴

급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 '''절대 수렴'''한다고 한다.

위의 정의에 따라 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 이 절대 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 역시 수렴함을 알 수 있다.

(이승준 p25)

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MKLINK
[[rearrangement]]

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Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405294&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 절대수렴]]
[[WpKo:절대_수렴]]
[[WpEn:Absolute_convergence]]
https://calculus.subwiki.org/wiki/Absolutely_convergent_series
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Absolutely_Convergent_Series
https://everything2.com/title/absolute+convergence

https://mathworld.wolfram.com/AbsoluteConvergence.html

Up: [[수렴,convergence]]