접선,tangent_line

할선,secant_line의 극한,limit. 할선의 두 교점이 하나로 모이는 극한이 접선이고 이 때 그 점은 접점,tangent_point { KmsK:접점 }.

함수 $f$ 그래프 위의 점,point $(x_0,y_0)$ 에서 접선의 방정식,equation은,
존재하는 차원,dimension에 따라서,

2차원: 접선,tangent_line
$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

3D: 접평면,tangent_plane
$z-z_0=\left({\partial f \over \partial x}\right)(x-x_0)+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(y-y_0)$

그러나 4D 이상은 잘 모르겠다. 4D: 접공간,tangent_space { RR: 접공간,tangent_space } ...(???) CHK



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1. 단어 탄젠트,tangent의 느낌

(일반적인 tangent 관련, 즉 접평면 등에도 적용)
(나중에 탄젠트,tangent 페이지 만들어지면 거기로...)

한 점,point에서 만난다, 접한다, 정도. 영어로는 touch, touching. kiss라는 표현도 봄.

Google:tangent etymology에 의하면 라틴어 어원이며 meeting at a point without intersecting 정도의 뜻.
라틴어 tangens (뜻: touching) 에서 유래. (Stewart)

Compare: 법(normal).
// 이건 pagename? 법,normal? 노멀,normal? 법이라 한다면 tangent는 접,tangnet은 어떨지?

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2. 정의

The tangent line to the curve $y=f(x)$ at the point $P(a,f(a))$ is the line through $P$ with slope
$m=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
provided that this limit exists. (Stewart)

$a+h=x,\,h=x-a$ 로 두면 위 식(기울기)는 다음과도 같다.
$m=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

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3. Topics:


점 $(x,f(x))$ 에서 접선의 기울기:
$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$

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4. 극곡선의 접선


$r=f(\theta)$ 일 때
$x=r\cos\theta=f(\theta)\cdot\cos\theta$
$y=r\sin\theta=f(\theta)\cdot\sin\theta$
이고, 곱의 미분을 적용하면
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}$

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5. parametric curve에서


곡슨이 수평접선 혹은 수직접선을 갖는 조건은

horizontal_tangent
${dy\over dt}=0$
provided that
${dx\over dt}\ne 0$

vertical_tangent
$\frac{dx}{dt}=0$
provided that
$\frac{dy}{dt}\ne 0$

만약 $dx/dt=0$ 그리고 $dy/dt=0$ 이면 접선 기울기를 결정하기 위해서는 다른 방법이 필요.

.....

일계도함수와 이계도함수

기울기,slope, 접선,tangent_line을 구한다면..... (mkclear)

일계도함수는
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy \over dt}{dx \over dt}$
if $\frac{dx}{dt}\ne 0$

이계도함수는 위 식의 $y$ 자리에 $dy/dx$ 를 대입하면 된다.
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$
주의:
$\frac{d^2y}{dx^2}\ne\frac{d^2y \over dt^2}{d^2x \over dt^2}$

(Stewart 9e chap10.2 p673)


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6. 수직접선 vertical tangent line

확대했을 때 그래프가 $y$ 축과 평행한 형태가 되는 경우, 즉
$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\infty,$ 또는 $-\infty$
이면 $y=f(x)$ 는 $x=a$ 에서 수직접선(vertical tangent)을 갖는다고 한다.[1]


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7. Compare:

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  • [1] 서울대기초수학학습교재 p103