$f$ 가 $[a,b]$ 에서 정의된 함수이며 $W$ 는 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 값이라고 하자.
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속일 때,
$f(c)=W$ 인 $c$ 가 $a$ 와 $b$ 사이에 존재한다.

함수 $f(x)$ 가 폐구간 $[a,\,b]$ 에서 연속이고 $f(a)\neq f(b)$ 일 때,
$f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 임의의 실수 $k$ 에 대하여

$f(c)=k$

인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재한다.

$f:\,[a,b]$ 에서 연속인 함수이고
$f(a)\ne f(b)$ 일 때
$f(a)<N<f(b)$ 또는 $f(b)<N<f(a)$ 인 임의의 $N$ 에 대하여
$\exists c\in[a,b]$ such that $f(c)=N.$

Let $f:[a,b]\mapsto\mathbb{R}$ be a continuous function.
Then for all $y\in\mathbb{R}$ between $f(a)$ and $f(b)$
there exists a value $x\in[a,b]$ such that $f(x)=y$ .

Suppose $f$ is continuous on a closed interval $[a,b]$ .
$\forall k \textrm{ between } f(a) \textrm{ and } f(b)$
$\exists c \in [a,b] \,\textrm{ such that }\, f(c)=k$

관련: 연속성,continuity
기타 필요한것... 유계,bounded 상한,supremum 상계,upper_bound

증명은 실수,real_number 완비성,completeness에 의존하므로 더 advanced texts에. (Thomas)

[edit]

중간값 성질 intermediate value property ¶

중간값성질 사이값성질 intermediate value property

$f$ 는 폐구간 $[a,b]$ 상에서 연속함수이고, $y_0$ 는 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 임의의 수이면,
$y_0=f(c)$ 를 만족하는 수 $c\in[a,b]$ 가 존재한다.

닫힌구간,closed_interval $[a,b]$ 에서 연속인 함수,function $y=f(x)$ 는 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 모든 값을 가진다.
다른 말로 하면, $y_0$ 가 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 임의의 값일 때, 어떤 $c\in[a,b]$ 에 대해 $y_0=f(c)$ 이다.
(Thomas)

// intermediate_value_property