#noindex
'''거듭제곱'''
pagename - 거듭제곱 exponentiation / 지수 exponent 이렇게 할까? - no, 지수연산(지수계산?) exponentiation / 지수 exponent / 멱 power 는 어떨지? ('거듭제곱'은 너무 길다)
KmsE:exponent Ndict:exponent
KmsE:power Ndict:power
KmsK:멱 Ndict:멱
KmsK:지수 Ndict:지수
KmsK:거듭 - power, 멱, ... 대충 같은 개념이기는 하나 번역은 대체로 ( exp-지수, power-거듭제곱-멱 )인듯
Ndict:거듭제곱
exponent vs exponentiation 의미차 확실히. Ggl:"exponent vs exponentiation" Ggl:"exponent exponentiation 차이" Ggl:"exponent exponentiation difference" Naver:"exponent exponentiation 차이"
WtEn:exponent
WtEn:exponentiation

표기:
 b^^n^^
 드물게 exp,,b,,(n) $\exp_b n$
 b^n, b↑n, b**n, etc. (← exponentiation_operator)
여기서,
 b: 밑(base)
 n: 지수(exponent)
 결과: power
읽기:
 b의 n제곱, b to the power of n, b raised to the power n, b to the n-th power

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n이 음수면 b≠0 (밑은 0이 아닌 수로 제한됨)
n이 분수면 b>0 (밑은 양수로 제한됨)
지수가 확장될수록 밑은 제한됨. (CHK) (TBW: 어떻게 제한되는지 구체적으로)
 ''(그냥 생각, del ok) 한 쪽으로 [[일반화,generalization]]/확장/...되면 다른쪽은 오히려 폭이 줄어드는/제한받는=[[제한,restriction]]이 생기는/[[모순contradiction]]이 생기는,  이런 본질적 [[구조,structure]]가 수학 여러 군데에 있는데 그 중 하나인지? - 예를 들어 [[실수,real_number]]를 (소위 '고차원적으로') 일반화시켜서 복소수 사원수 팔원수 십육원수 ....이렇게 갈수록 오히려 실수에서는 자연스러웠던 기본적인 성질(을 만족하지 않거나/이 성립하지 않거나/을 잃어버리거나/...) 그렇게 됨.''
 ''[[수리논리,mathematical_logic]]에서도 nth order logic이 숫자 n이 커질수록 앞의 것보다 더 일반적/확장/고차원이 되나, [[오더,order]]가 낮았을 때 성립하던 이른바 '좋은 [[성질,property]]'이 없어지게(i.e. 성립하지 않는 경우가 생기게) 되는데....''
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n이 [[자연수,natural_number]]라면, [[곱셈,multiplication]]을 반복한 것과 동일.
n이 [[정수,integer]]라면,
n이 [[유리수,rational_number]]라면,
n이 [[실수,real_number]]라면,
n이 [[복소수,complex_number]]라면.. 이렇게 확장 가능

함수에 적용하면 [[지수함수,exponential_function]] 또는 [[멱함수,power_function]]
둘의 차이는, x가 변수이고 a가 상수라면
||멱 함수 ||지수 함수 ||
||power function ||exponential function ||
||y=x^^a^^ ||y=a^^x^^ ||

'''지수'''(exponentiation)는 거듭제곱(멱, power)과 거의 같은... - 작성중(별도 페이지 필요한지 or merge - TBD)

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반대 개념: [[로그,log]] 또는 [[거듭제곱근,nth_root]]
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<<TableOfContents>>

= 표현, 단어 =
AKA: 표현이 참 많은데 .... TOCLEANUP {
 '''거듭제곱''' 
 지수 exponent(밑의 오른쪽 위에 쓰는 수) exponentiation(연산하는 행동) exponential(adj?) (See also [[지수함수,exponential_function]])
  y=a^^x^^
 멱 power -
  y=x^^a^^
 승 승수
 누승
}

tmp from [[WpKo:멱함수]]
{
[[멱함수,power_function]] : 거듭제곱의 지수를 고정하고 밑을 변수로. $f(x)=cx^a$

멱함수 $(1+x)^\alpha$ 의 [[테일러_전개,Taylor_expansion]]:
 $(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n$
}

[[상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE]]에선 exponential growth(지수함수적/지수적/급격한/기하급수적인 성장/증가/증식) 및 exponential decay를 다룸

= 짝수 지수 vs 홀수 지수 =
$f(x)=x^n$ 은 '''지수''' $n$ 이 짝수인지 홀수인지에 따라 다르게 행동한다.
만약 $n$ 이 홀수이면
 $\left( \sqrt[n]{b} \right) ^ n = \sqrt[n]{b^n} = b$
 즉 그대로 나온다.
반면에 $n$ 이 짝수이면
 $\sqrt[n]{b^n}=|b|$
 즉 [[부호,sign]]를 버리는 [[절대값,absolute_value]] 함수와 같다.

식 $\left( \sqrt[n]{b} \right) ^ n$ 은 $b$ 가 음수일때에는 계산될 수 없다. 왜냐하면 그 자신을 짝수배만큼 곱할 때 음수가 되는 실수가 없으므로, $b<0$ 에 대한 $\sqrt[n]{b}$ 를 실수로 계산할 수 없기 때문이다.
## no bullshit guide to math&physics, 수학&물리 가이드, ivan savov, p65

= Serial exponentiation =
Superscript notation으로 쓰여 있으면 보통 위에서부터 [[평가,evaluation]]한다. (top down)
 $a^{b^c}=a^{(b^c)}$
캐럿(^)이나 화살표(↑) notation일 때는 확립된 표준이 없다.
## from WpEn:Order_of_operations

[[연산,operation]]이나 [[연산자,operator]]의 우선순위precedcence 목록에서, (operator_precedence) (순위 보다는) associativity (curr. [[결합법칙,associativity]]; left associative인지, right associative인지) 관련임. 이것은 중요한데, 예를 들어 3^^(4⁵)^^와 (3^^4^^)^^5^^는 [[https://everything2.com/title/Associative 이렇게 엄청난 차이]]가 난다.

= 복소수의 거듭제곱 (밑 자리에 복소수) =
복소수 a를 n(실수)제곱하면,
 절대값(크기)는 n제곱이,
 각도([[편각,argument]])은 n배가 됨

복소수를 복소수제곱하면 TBW

= 복소수 지수 (지수 자리에 복소수) =
$z=a+ib(a,b\in\mathbb{R})$ 일 때,
 $e^{a+ib}=e^a(\cos b+i\sin b)$

[[복소수,complex_number]] 지수를 써서 sin, cos 표현하기
 $\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
 $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

나중에 fork to [[complex_exponent]]

tmp bmks ko
https://sciphy.tistory.com/748

rel.
[[복소해석,complex_analysis]]의 출발점 중 하나가 복소수 지수를 정의하는 것... 이하 간단한 경우(복소해석 밖에서도 자주 쓰이는, 정형화된 공식들). // 복소수지수
[[오일러_항등식,Euler_identity]] $e^{i\pi}+1=0$
[[오일러_공식,Euler_formula]] - 지수 자리에 $i$ 가 등장
[[드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula]] 에 의하면[* https://sciphy.tistory.com/748]
 $(e^{ix})^n=e^{i(nx)}$

https://mathworld.wolfram.com/ComplexExponentiation.html
... Google:complex+exponent

= 행렬 지수 (지수 자리에 행렬) =
[[행렬,matrix]]이라면, [[https://www.youtube.com/watch?v=O85OWBJ2ayo How (and why) to raise e to the power of a matrix | DE6]]
 같이 언급: 연립미분방정식(system of differential equations), [[회전,rotation]], [[테일러_급수,Taylor_series]]

= exponential 뭐뭐 =
== 지수함수 exponential function / 지수사상 exponential map ==
자명
[[지수함수,exponential_function]]

== 지수분포 exponential distribution ==
[[지수분포,exponential_distribution]]

== exponential growth ==
지수적 성장/생장 ?

exponential growth
exponential_growth
"exponential growth"
Ggl:"exponential growth"

Up: [[성장,growth]]?

== exponential field ==
지수체 ?
지수적 체? [[체,field]]

exponential field
exponential_field
w
WtEn:exponential_field = https://en.wiktionary.org/wiki/exponential_field x 2023-12
WpEn:Exponential_field = https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_field
https://ja.wikipedia.org/wiki/指数体

"exponential field"
Ggl:"exponential field"

=== ordered exponential field ===
ordered exponential field
ordered_exponential_field

MKL [[exponential_field]] AND [[ordered_field]]

WtEn:ordered_exponential_field ?

https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_exponential_field
https://ja.wikipedia.org/wiki/順序指数体 (순서지수체 로 번역)

"ordered exponential field"
Ggl:"ordered exponential field"

=== exponentially closed field ===
exponentially closed field
exponentially_closed_field
https://ja.wikipedia.org/wiki/指数閉体 (지수폐체 로 번역)

"exponentially closed field"
Ggl:"exponentially closed field"

== 지수대상 exponential object ==
exponential object
exponential_object
WtEn:exponential_object ?
WpEn:Exponential_object ?

Up: [[대상,object]]

= 무슨무슨 exponential =
== 이중지수 double exponential ==
[[이중지수,double_exponential]]

WpEn:Double_exponential
Google:double+exponential

Sub: [[이중지수함수,double_exponential_function]] - curr at [[지수함수,exponential_function#s-4]]

= 밑 바꾸기 =
조건만 만족하면 모든 수를 '''지수''' 꼴로 바꾸는 [[항등식,identity]]:
 $x=e^{\ln x}$
여기서 양변을 $n$ 제곱하면?

이것을 가지고 $x^n$ 을 $e^{(\star)}$ 꼴로 항상 바꿀 수 있음.
 $x^n=\left(e^{\ln x}\right)^n=e^{n\ln x}$

중요!
> $x^n=e^{n \ln x}$

----
tmp del ok.

 $a^x = e^{x\ln a}$
양변에 로그를 취하면
 $\ln(a^x)=\ln(e^{x\ln a})$
 $x\ln a=x\ln a$

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= QQQ TBW =
$i^i=e^{-\frac{\pi}{2}}$ 증명?
 참고, https://www.youtube.com/watch?v=ABk1HK2AR2E (blackpenredpen)

= tmp video en =
지수의 정의역 확장.
Can we exponentiate d/dx? Vector (fields)? What is exp? | Lie groups, algebras, brackets #4 - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=9CBS5CAynBE
$y=e^x$
$y=e^{-x}$ .... 실수 지수 (real)
$y=e^z$ .... complex
$y=e^{\vec{v}}$ .... vector (on manifolds) — differential_geometry 에서
$y=e^{d/dx}$ .... [[미분연산자,differential_operator]] — [[양자역학,quantum_mechanics]]에서
$y=e^{\rm (vector field)}$ .... [[벡터장,vector_field]] — Lie_theory 에서

$f(x)=e^x$ 는, $f'(x)=f(x),\;f(0)=1$ 의 유일한 해이다.
이걸 변형하면
dddddddddd
expon.을 일종의 journey로 볼 수 있다.
$g(1)=e^x$ 이고
$g(t)=\exp(tx)$ 가 다음을 만족하는.
 $g(0)=1,$
 $g'(t)=xg(t)$


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See also [[지수분포,exponential_distribution]]

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https://planetmath.org/exponent
https://planetmath.org/exponential
https://oeis.org/wiki/Exponentiation

WpEn:Exponentiation
WpKo:거듭제곱
https://pub.mearie.org/거듭제곱
https://googology.fandom.com/wiki/Exponentiation

Up: [[이항연산,binary_operation]]