[[감마분포,gamma_distribution]]의 특별한 형태 / 특수한 경우 로, 사건이 일어나는 시간 간격의 확률분포.
[[푸아송_분포,Poisson_distribution]]와도 깊은 연관 있음.

사건의 발생 횟수가 Poisson dist을 따르면
사건 사이의 대기 시간은 '''expon. dist'''를 따른다? CHK

[[무기억성,memorylessness]]을 가짐
[[무기억성질,memoryless_property]]

[[지수,exponentiation]]
[[확률분포,probability_distribution]]

[[모수,parameter]]는 서로 역수 관계인 λ와 θ 중에서 선택?

= 모수를 λ로 할 경우 =
$\lambda>0$ 에 대해, 다음과 같은 확률밀도함수를 가지는 연속확률분포 exp(λ) 를 '''지수분포'''라고 한다.
 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x} \qquad (x\ge 0)$

= 모수를 θ로 할 경우 =
 $f(x;\theta)=\begin{cases}\frac1\theta e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&x\le 0\end{cases}$
X: 모수가 θ인 지수분포
 $X\sim\mathrm{Exp}(\theta)$

평균 E(X)=θ
분산 V(X)=θ^^2^^

누적확률분포함수 $F(x;\theta)$
 $F(x;\theta)=\int_{-\infty}^x f(t;\theta)dt=\int_0^x \frac1{\theta}e^{-t/\theta}dt=1-e^{-x/\theta}\;\;(x>0)$
 $P(a<X<b)=F(b;\theta)-F(a;\theta)=e^{-a/\theta}-e^{-b/\theta}$

[[푸아송_분포,Poisson_distribution]]와의 비교
||푸아송 분포 ||확률변수 = 단위시간당 발생하는 사건의 수 (이산형) ||
||지수 분포   ||확률변수 = 한 사건이 발생하는데 걸리는 시간 (연속형) ||

예 1
어떤 형태의 전기 스위치 수명(단위 년) ~ Exp(θ=2)
이 스위치 10개가 서로 다른 기계에 설치,
설치한 첫 해에 기껏해야 세 개가(? 세 개 이하로) 고장날 확률?
sol.
T: 전기 스위치 수명
X: 10개 스위치 중 설치한 첫 해에 고장난 스위치의 개수
T~Exp(θ=2)
설치한 첫 해에 고장날 확률:
 $P[T<1]=F(1;2)=1-e^{-1/2}\approx 0.3935$
$X\sim B(10,1-e^{-1/2})$
구하고자 하는 확률:
 $P[X\le3]=\sum_{x=0}^3 \binom{10}{x} (1-e^{-1/2})^x (e^{-1/2})^{10-x} \approx 0.3988$

특징: 무기억성(memoryless property)
 $X\sim\mathrm{Exp}(\theta)$
$\leftrightarrow$
 $\forall s,t>0,\,P[X>s+t|X>s]=P[X>t]$
증명
 $P[X>s+t|X>s]=\frac{P[X>s+t]}{P[X>s]}$
 $F(x;\theta)=P[X\le x]=1-e^{-x/\theta}$
 $P[X>s]=1-F(s)=e^{-s/\theta}$
$\rightarrow P[X>s+t|X>s]=\frac{P[X>s+t]}{P[X>s]}$
 $=\frac{e^{-(s+t)/\theta}}{e^{-s/\theta}}$
 $=e^{-t/\theta}=P[X>t]$
과거의 사건이 미래에 영향을 끼치지 못한다는 의미.
ex. 전구의 수명이 지수분포를 따른다면,
10시간 동안 켜져 있던 전구가 11시까지(11시간까지?? 한 시간 더?) 켜져 있을 확률
 = 새 전구가 1시간 켜져 있을 확률

(from http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1162312 4장_확률변수와분포_지수분포)

Related: [[RR:지수확률변수,exponential_RV]]
----
tmp from http://blog.naver.com/mykepzzang/220843050893
{
'''지수분포'''는 [[감마분포,gamma_distribution]]의 특수한 경우임.
}

= 설명 =
// ㄷㄱㄱ week 7-2 9m:30

'''Exponential Distribution'''

$\bullet\; X\sim\text{Exp}(\lambda)$ - [[지수확률변수,exponential_random_variable]] (curr see [[RR:지수확률변수,exponential_RV]])

$\bullet\; f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x} \;\text{ for }\; x\ge 0$

$\bullet\; \text{E}[X]=\frac1{\lambda}$ // ...''이것은 $\int_0^{\infty} x\cdot \lambda e^{-\lambda x} dx$ 에서 어렵지 않게 계산될 수 있다.''

$\bullet\; \text{Var}[X]=\frac1{\lambda^2}$

Waiting time for an event when 𝜆 events occur on average in a unit time

dddddddd .....이후 나중에....

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Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405336&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 지수분포]]
https://mathworld.wolfram.com/ExponentialDistribution.html
[[WpKo:지수_분포]]
[[WpEn:Exponential_distribution]]

지수 분포 Exponential Distribution https://freshrimpsushi.github.io/posts/exponential-distribution/
지수 분포의 평균과 분산 Mean and Variance of Exponential Distribution https://freshrimpsushi.github.io/posts/mean-and-variance-of-exponential-distribution/
지수 분포와 푸아송 분포의 관계 Relationship between Exponential and Poisson https://freshrimpsushi.github.io/posts/relationship-between-exponential-and-poisson/
지수 분포의 무기억성 Memoryless Property of Exponential Distribution https://freshrimpsushi.github.io/posts/memoryless-property-of-exponential-distribution/

C++ : https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/random/exponential_distribution

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Up: [[연속확률분포,continuous_probability_distribution]]