지수함수,exponential_function

양의 실수 $a$ 에 대해, 실수 집합에서 정의된 함수
$f(x)=a^x$
$f(x)=ab^x$ 지수함수 exponential function
$f(x,y)=x^y$ 지수,exponentiation
$f(x)=x^r$ 멱함수,power_function

(WpEn:Exponential_function맨 위의 disambiguation 안내에서)
natural exponential function
$e$ (자연로그의_밑,e)을 밑으로 하는 지수,exponentiation에 대한 함수.

표기:
ex, exp(x)
$e^x,\;\exp x$

정의:
$\exp(\ln x)=x\quad\quad(x>0)$
$\ln(\exp(x))=x\quad\quad(x\in\mathbb{R})$


$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$
general exponential function

$a$ 를 밑으로 하는 지수함수의 정의: (expon. fn. with base a)
$a>0$ 일 때, 임의의 실수 $x$ 에 대해
$a^x=\exp(x\ln a)=e^{x\ln a}$

$a^x=e^{x\ln a}$

$a^y=e^{y\ln a}$



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1. 넘나 쉬운 $y=a^x$ 의 그래프

여기서 a>0, a≠1이라는 전제 있음
(밑이 1이면 상수함수,constant_function)
밑이 음수이면? QQQ Google:밑이 음수인 지수함수 ... // 확장,extension? 일반화,generalization?

정의역 실수,real_number 전체, $\mathbb{R}$ $x\in\mathbb{R}$
치역 양의 실수 전체, $\mathbb{R}^+$ $a^x\in(0,\infty)$
y 절편: (0, 1)

$a>1$ 일 때 증가함수
$0<a<1$ 일 때 감소함수

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2. 지수함수의 미분

여기서도 위 섹션의 전제 있음 $(a>0,a\ne 1)$

$\frac{d}{dx}a^x = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$
중간생략 TBW 아무튼 결과는 당연히
$=a^x\ln a$

$\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=\ln a$ 증명 TBW

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3. 자연지수함수 natural exponential function

자연로그의_밑,e이 아래(?)

미분은 그 자신.
$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

$y=e^x$ 의 $y$ 절편 $(0,1)$ 에서의 기울기,slope는 1이다.

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4. 이중지수함수 double exponential function

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5. 해석적으로

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6. 삼각함수/쌍곡함수와의 관계

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7. 용어

지수함수 $y=y_0e^{kx}$ 는
k>0이면 exponential growth의
k<0이면 exponential decay의
모델이다.

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8. 지수함수가 아닌 것

$x^2$ : 변수가 exponent가 아닌 base에 있음 - 이것은 멱함수,power_function
$1^x$
$(-1)^x$ : 밑은 1이 아닌 양수여야 함
$x^x$


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9. Related

지수함수의 역함수,inverse_function는 로그함수,logarithmic_function
{
자연로그함수 $\ln x$ 와 자연지수함수 $e^x$ 는 역함수 관계.
$e^{\ln x}=x$ (모든 $x>0$ 에 대해)
$\ln(e^x)=x$ (모든 $x$ 에 대해)

마찬가지로, 로그함수와 지수함수의 역함수 관계.
$a^{\log_a x}=x$ (모든 $x>0$ 에 대해)
$\log_a(a^x)=x$ (모든 $x$ 에 대해)

(Thomas)
}

임의의 $a>0$ 과 $x$ 에 대해,
밑이 $a$ 인 지수함수를 다음과 같이 정의한다.
$a^x=e^{x\ln a}$
(Thomas)

우변은
$e^{x\ln a}=e^{\ln a\cdot x}=(e^{\ln a})^x=a^x$