양의 실수 $a$ 에 대해, 실수 집합에서 정의된 함수
 $f(x)=a^x$
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||$f(x)=ab^x$ ||'''지수함수 exponential function''' ||
||$f(x,y)=x^y$ ||[[지수,exponentiation]] ||
||$f(x)=x^r$ ||[[멱함수,power_function]] ||

(WpEn:Exponential_function 맨 위의 disambiguation 안내에서)
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natural exponential function
$e$ ([[자연로그의_밑,e]])을 밑으로 하는 [[지수,exponentiation]]에 대한 함수.

표기:
 e^^x^^, exp(x)
 $e^x,\;\exp x$

정의:
 $\exp(\ln x)=x\quad\quad(x>0)$
 $\ln(\exp(x))=x\quad\quad(x\in\mathbb{R})$


$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$
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general exponential function

$a$ 를 밑으로 하는 지수함수의 정의: (expon. fn. with base a)
$a>0$ 일 때, 임의의 실수 $x$ 에 대해
 $a^x=\exp(x\ln a)=e^{x\ln a}$

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> $a^x=e^{x\ln a}$

> $a^y=e^{y\ln a}$

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<<tableofContents>>

= 넘나 쉬운 $y=a^x$ 의 그래프 =
여기서 a>0, a≠1이라는 전제 있음
(밑이 1이면 [[상수함수,constant_function]])
밑이 음수이면? QQQ Google:밑이+음수인+지수함수 ... // [[확장,extension]]? [[일반화,generalization]]?

||정의역 ||[[실수,real_number]] 전체, $\mathbb{R}$ ||$x\in\mathbb{R}$ ||
||치역   ||양의 실수 전체, $\mathbb{R}^+$          ||$a^x\in(0,\infty)$ ||
y 절편: (0, 1)

||$a>1$ 일 때   || 증가함수 ||
||$0<a<1$ 일 때 || 감소함수 ||

= 지수함수의 미분 =
여기서도 위 섹션의 전제 있음 $(a>0,a\ne 1)$

$\frac{d}{dx}a^x = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$
중간생략 TBW 아무튼 결과는 당연히
$=a^x\ln a$

$\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=\ln a$ 증명 TBW

= 자연지수함수 natural exponential function =
[[자연로그의_밑,e]]이 아래(?)

미분은 그 자신.
 $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

$y=e^x$ 의 $y$ 절편 $(0,1)$ 에서의 [[기울기,slope]]는 1이다.

= 이중지수함수 double exponential function =
[[이중지수함수,double_exponential_function]]

[[역함수,inverse_function]]는 이중로그함수 $\log(\log(x))$ ... [[이중로그,double_logarithm]] or [[이중로그함수]] later; [[WpEn:Logarithm#double_logarithm]] Google:이중로그 Google:double.logarithm

WpEn:Double_exponential_function

Google:double+exponential+function

Up: [[이중지수,double_exponential]]

= 해석적으로 =
[[테일러_전개,Taylor_expansion]]:  
 $e^x=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$ 
 i.e.
 $e^x = 1+x+{x^2\over 2!}+{x^3\over 3!}+\cdots+{x^n\over n!}+\cdots$
[[매클로린_급수,Maclaurin_series]] 표현:
 $e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$e^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+\cdots$
$e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\cdots$
 $=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right)$

(See also [[테일러_급수,Taylor_series]])

= 삼각함수/쌍곡함수와의 관계 =
[[삼각함수,trigonometric_function]]와의 관계: [[오일러_공식,Euler_formula]]
 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

[[쌍곡선함수,hyperbolic_function]]와의 관계
 $e^x=\cosh x+\sinh x$

= 용어 =
지수함수 $y=y_0e^{kx}$ 는
 k>0이면 exponential growth의
 k<0이면 exponential decay의
모델이다.
## from Thomas Calc 13e p39

= 지수함수가 아닌 것 =
$x^2$ : 변수가 exponent가 아닌 base에 있음 - 이것은 [[멱함수,power_function]]
$1^x$
$(-1)^x$ : 밑은 1이 아닌 양수여야 함
$x^x$


= Related =
지수함수의 [[역함수,inverse_function]]는 [[로그함수,logarithmic_function]]
{
자연로그함수 $\ln x$ 와 자연지수함수 $e^x$ 는 역함수 관계.
 $e^{\ln x}=x$ (모든 $x>0$ 에 대해)
 $\ln(e^x)=x$ (모든 $x$ 에 대해)

마찬가지로, 로그함수와 지수함수의 역함수 관계.
 $a^{\log_a x}=x$ (모든 $x>0$ 에 대해)
 $\log_a(a^x)=x$ (모든 $x$ 에 대해)

(Thomas)
}

임의의 $a>0$ 과 $x$ 에 대해,
밑이 $a$ 인 '''지수함수'''를 다음과 같이 정의한다.
 $a^x=e^{x\ln a}$
(Thomas)

우변은
 $e^{x\ln a}=e^{\ln a\cdot x}=(e^{\ln a})^x=a^x$

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[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338306&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 지수함수]]
https://en.citizendium.org/wiki/Exponential_function

Up: [[함수,function]]