#noindex
체 (field)

대충 사칙연산=가감승제(기본적 [[산술,arithmetic]] [[연산,operation]] 네가지, 단 division_by_zero만 제외?)를 자유롭게 할 수 있는 수들의 집합? 또는 거기에 연산도 포함? - 수들의 집합인듯.
 [[Date(2023-06-13T12:59:54)]]
 - 글쎄? 단순 집합 같지 않은데? 실수체가 다루는 수의 집합을 실수라고도 하고, 실수체를 실수라고도 하고, 이런 용어 사용 같은데?
 - [[추상대수,abstract_algebra]]에서 다루는 [[구조,structure]] 중 하나?

'가감승제가 자유로운 집합'. 유리수체(유리수 전체의 집합), 실수체, etc. 실수체 = 실수 전체의 집합. (김홍종)
사칙계산에 대해 닫혀 있는 집합을 체(field)라 부른다. (박부성)

ex.
복소수(집합)는 체.
자연수, 정수는 체 아님. ([[나눗셈,division]]이 자유롭지 않음)

[[집합,set]] F가 다음 성질을 갖는다면, F는 체.
 * TOCLEANUP
 * F가 [[덧셈,addition]]과 [[곱셈,multiplication]] +, *에 대해 닫힘
 * +, *에 대한 [[결합법칙,associativity]], [[교환법칙,commutativity]] 성립
  * [[가환군,commutative_group]] ([[군,group]] + [[교환법칙,commutativity]] 성립)
 * [[항등원,identity_element ]] 0, 1 존재하며 0≠1
 * [[역원,inverse_element]] -a, a^^-1^^ 존재 (후자는 F-{0}에 대해서만)
 * +, *에 대해 [[분배법칙,distributivity]] 성립

chk, tmp from https://youtu.be/sDZB7ozFytk?t=297 - 강의교재는 Friedberg lin alg.
 * 두 [[이항연산,binary_operation]]을 가짐 - (+, ·)
 * 닫힘(closed)
 * 덧셈 교환법칙 a+b=b+a
 * 곱셈 교환법칙 a·b=b·a
 * 덧셈 결합법칙 (a+b)+c=a+(b+c)
 * 곱셈 결합법칙 (a·b)·c=a·(b·c)
 * 덧셈 항등원 존재 0+a=a+0=a ...[[영,zero]]?
 * 곱셈 항등원 존재 1·a=a·1=a ...[[하나,one]]?
 * 덧셈 역원 존재 ∃-a st a+(-a)=0
 * 곱셈 역원 존재 ∃b^^-1^^ st b·b^^-1^^=1
 * 덧셈과 곱셈 분배법칙 a·(b+c)=a·b+a·c

----
체공리 field_axiom
https://mathworld.wolfram.com/FieldAxioms.html
http://mathonline.wikidot.com/field-axioms
Up: [[공리,axiom]]

참고로 용어
 0 : additive identity
 1 : multiplicative identity
 r에 대해 -r: additive inverse
 0을 제외한 r에 대해 r^^-1^^: multiplicative inverse
// [[항등원,identity_element]] and [[역원,inverse_element]]

[[순서체,ordered_field]](writing)와 순서체가 아닌 체가 있음

체는 수 없이 많은데..
 [[스칼라체,scalar_field]]
 [[유한체,finite_field]] (= Galois field)
{
## 갈루아_체,Galois_field
AKA '''유한체 finite field, 갈루아 체 Galois field'''
 유한체를 GF()로 쓰는 것이 이 때문? chk

원소의 개수가 유한 개인 [[체,field]].

ex. 정수를 어떤 [[소수,prime_number]] $p$ 로 나눈 [[나머지,remainder]]만으로 만든 [[집합,set]]
 $\mathbb{Z}_p = \lbrace 0, 1, \cdots, p-1 \rbrace$
에 나머지 덧셈과 나머지 곱셈을 연산으로 준 것

See examples(보기): [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405349&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 체]]

rel.
유한체 and [[확대체,extension_field]] => [[유한확대체]] (curr at 확대체)? chk
이건 AES에 쓰임.

tmp bmks en
https://everything2.com/title/automorphisms+of+finite+fields // 유한체의 [[자기동형사상,automorphism]]

----
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125404&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 유한체]]
https://mathworld.wolfram.com/FiniteField.html
https://planetmath.org/finitefield
https://everything2.com/title/finite+field (long)
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Galois_field - ''finite field''

Up: [[체,field]]
}
 [[확대체,extension_field]] - 작성중
 [[부분체,subfield]] - 작성중
 [[분수체,fraction_field]]
{
'''분수체, field of fractions, fraction field, field of quotients, quotient field'''

[[정역,integral_domain]]에 대해 정의? chk

이름에 [[분수,fraction]] [[몫,quotient]] 있는데 mklink


[[WpEn:Field_of_fractions]]
[[WpKo:분수체]] - 정수환의 분수체는 유리수체
https://mathworld.wolfram.com/FieldofFractions.html
https://ncatlab.org/nlab/show/field+of+fractions
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Field_of_fractions
https://everything2.com/title/field+of+fractions
https://planetmath.org/fractionfield

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669273&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 분수체]]
"주어진 정역을 포함하는 최소의 체(field)를 뜻하며 몫체(field of quotients)라고 하기도 한다."
}
 [[완비체,complete_field]] - writing
 [[수체,number_field]]
{
수체 number field
//tmp from https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=number+field
{
algebraic number field	대수적 수체
rational number field	유리수체
real number field	실수체
complex number field	복소수체
}
https://ncatlab.org/nlab/show/number+field
}
 [[소체,prime_field]] - writing
 [[분해체,splitting_field]] - writing
 ...
 [[준동형사상,homomorphism]]이란 두 체 사이에서 구조를 보존하는 [[사상,map]]인데 정작 체에서는 준동형사상 개념을 잘 안 쓴다고 서술.. (수학백과 참조)
 표수 - [[환,ring#s-6]]참조.

<<TableOfContents>>

= 체인 것의 예 =
 * [[유리수,rational_number]]집합 ℚ
 * [[실수,real_number]]집합 ℝ
 * [[복소수,complex_number]]집합 ℂ
 * $\left\lbrace a+b\sqrt{2} \middle| a,b\in\mathbb{Q} \right\rbrace$
 * 덧셈과 곱셈이 다음과 같이 정의된 $Z_2=\{0,1\}$ // ''각각 [[짝수,even_number]] [[홀수,odd_number]]로 '볼 수 있는'건지? 아님 그 자체? chk''
{{{
 + 0 1      · 0 1
 0 0 1      0 0 0
 1 1 0      1 0 1
}}}
 // ''위 행렬이 [[대칭행렬,symmetric_matrix]] ↔ [[교환법칙,commutativity]] 성립이다. - chk''
 * 그리고 $Z_3,Z_5,Z_7,Z_{11},Z_{13}$ ''(아래첨자가 모두 [[소수,prime_number]])''

= 체가 아닌 것의 예 =
 * 그런데 $Z_4$ 는 field가 아니다. ∴ There is no multiplicative_inverse of 2 in Z,,4,, ([[multiplicative_inverse]] of 2 가 Z,,4,,안에 없음):
 2·0=0
 2·1=2
 2·2=0
 2·3=2 ... 를 보면 2에 무엇을 곱하더라도 절대 1이 나오지 않는다 - 숫자 2에 대한 곱셈의 역원이 존재하지 않는다
 * [[자연수,natural_number]] ℕ // ''ex. 3의 곱셈의 역원이 없다''
 * [[정수,integer]] ℤ

(Src: [[https://youtu.be/sDZB7ozFytk?t=1275 Young Gil Kim]])


= Borel field =
보렐 집합체 Borel_field
[[결과,outcome]]들의 집합인 [[표본공간,sample_space]]을 entire real line $\mathbb{R}$ 로 잡기에 너무 큰 경우, all events of practical interest를 포함한 더 작은 class를 잡는다. 이것을 Borel field $\mathcal{B}$ 이라 한다.

related?: event_class (goto [[사건,event#s-9]])
(Leon-Garcia 2.2.2 Continuous Sample Spaces; p37; Section 2.9 discusses B in more detail.)

see also:
[[시그마대수,sigma-algebra]](curr goto [[불_대수,Boolean_algebra]] sub)


chk: borel sigma field 와 borel field 의 정확한 관계?
보렐 시그마-체(Borel sigma field), Borel sigma-algebra
https://seoncheolpark.github.io/book/_book/4-5-borel-sigma-field.html

= skew field =
'''skew_field''' = division_ring = [[나눗셈대수,division_algebra]]
(kms: skew field = 꼬인 체 = 비가환체 = [[나눗셈환,division_ring]]... pagename TBD)
see [[환,ring]], https://mathworld.wolfram.com/DivisionAlgebra.html

[[Date(2021-12-10T23:00:19)]]
https://everything2.com/title/skew+field
https://everything2.com/title/division+ring

곱셈의 가환 조건을 만족하지 않으면 꼬인 체 ? chk

= See also =
[[벡터공간,vector_space]]

[[공간,space]]과 관계가?

물리에서 field는 [[장,field]]

Compare: [[군,group]] [[환,ring]]

----

Twins:
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Field
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405349&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 체]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405191&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 실수계]] 앞부분도 참조.
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1146876&cid=40942&categoryId=32206 두산백과: 체]]
[[WpSimple:Field_(mathematics)]]
https://mathworld.wolfram.com/Field.html
[[https://en.citizendium.org/wiki/Field_(mathematics)]]
https://everything2.com/title/field
[[Libre:체_(수학)]] ''[[Date(2021-12-31T22:17:25)]] 현재 정리가 잘 안되어있지만 나아질 것이므로..''
[[WpEn:Field_(mathematics)]] ★(Good article)
[[WpKo:체_(수학)]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Field
https://ncatlab.org/nlab/show/field

[[Namu:체(대수학)]]

Bmks ko:
[[MathNote:체론(field_theory)]]

Up:
[[수의_집합]]?
[[집합,set]]?
[[추상대수,abstract_algebra]]

= 추가 =
[[미분체,differential_field]]
{
from https://pomp.tistory.com/923

정의:
 [[체,field]] $F$ 가
 [[단항연산,unary_operation]]
 $':F\to F,$
 $(a+b)'=a'+b',$
 $(ab)'=a'b+ab'$
 을 가지고 있을 때, 체 $F$ 를 '''미분체(differential field)'''라 부른다.

예: [[유리식,rational_expression]]의 집합 $\mathbb{C}(x)$

이후 글에서
대수적확대체
로그확대체
지수함수확대체 ..등등 설명.

WtEn:differential_field
"differential field"
Ggl:"differential field"
}