함수 $f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이면 $f(x)$ 는 이 구간에서 반드시 최대값과 최소값을 가짐.
‘실수의 완비성’을 사용해서 증명한다.
고등학교 수준에선 증명할 수 없다고 함.

닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속인 함수는 그 구간에서 absolute_maximum value와 absolute_minimum value를 가진다. (Briggs Calculus Thm 4.1)

If $f$ is continuous on a closed interval $[a,b],$
then $f$ attains both an absolute_maximum value $M$ and an absolute_minimum value $m$ in $[a,b].$
That is, there are numbers $x_1$ and $x_2$ in $[a,b]$ with $f(x_1)=m,\,f(x_2)=M,$ and $m\le f(x)\le M$ for every other $x$ in $[a,b].$
(Thomas 11e)

관련: [[극값,extremum]](extreme value, 극대값+극소값), [[최대최소,maximum_and_minimum]]

실수의 완비성(completeness), 완비성 공리: [[완비성,completeness]]

//수백
'''EVT'''는 [[연속함수,continuous_function]]의 중요한 성질로, 연속함수가 최대값과 최소값을 가질 [[조건,condition]]을 말해주는 정리.

최대값·최소값 정리는 닫힌구간이 아니거나 연속이 아닌 경우 성립하지 않을 수 있다.[* 서울대기초수학학습교재 p93]
 TBW - example?

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AKA '''최대값·최소값 정리'''
AKA '''극값정리'''? yes. '''극값문제'''(kms)

증명에 필요한 개념들. 먼저 다음을 알아야 한다
 증가/감소
 단조함수 monotone -> [[단조함수,monotonic_function]] { MERGE WITH [[함수,function#s-8]] ; [[단조성,monotonicity]] [[함수,function]] [[WpSimple:Monotonic_function]] [[WpKo:단조함수]] [[WpSimple:Monotonic_function]] }
 순단조함수 strictly monotone
 Bolzano-Weierstrass theorem = 볼차노-바이어슈트라스_정리
  이건 먼저 다음을 알아야 한다: 폐구간 수렴 정리(Nested Interval Theorem)
  임의의 [[유계,bounded]]인 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다
 boundedness theorem

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Up:
 [[미적분,calculus]]
 실해석학 real_analysis
 최대최소 - curr see [[미적분,calculus#s-10]]
 [[극값,extremum]] - [[extreme_value]]

https://mathworld.wolfram.com/ExtremeValueTheorem.html
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338504&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 최대최소 정리]]
[[Libre:최대·최소의_정리]]
https://everything2.com/title/Extreme+Value+Theorem
[[WpEn:Extreme_value_theorem]]
https://brilliant.org/wiki/extreme-value-theorem/

Google:최대.최소.정리
Google:Extreme_value_theorem