전기용량,capacitance(C) 만큼 전하,electric_charge(Q)를 축적하는 장치. 축적했던 것을 빠르게 방출할 수 있음.

전하를 양쪽 판에 머무르게 함.
판 사이 좁은 공간에 전기장,electric_field의 형태로 에너지가 저장됨.
전하들의 모임의 전체 전기퍼텐셜에너지,electric_potential_energy 형태
CHK
(차동우)

$i=C\frac{dv}{dt}$

잘 알려진 식

$Q=CV$
전하량 = 전기용량 × 전압

에서,

$C=\frac{Q}{V}$

평행판의 경우

기호는 실제 모양과 비슷한 -||-비슷한그거....
두 도체,conductor판(plate) 사이에 유전체,dielectric 끼운 샌드위치 형태이며,

두 도체 판은 각각 전극,electrode이며, 연결되어 있지 않고, 따라서 직류에서는 무한대의 저항과 같고, 교류에서는 충전과 방전 사이클을 반복, CHK

여기에 전압을 걸면 전하가 모이며, 모으는 역할을 한다는 점에서 전지/배터리와 비슷. 다만 다른 점은 축전기가 훨씬 빠르다는 것. CHK
->
축전기는 일시적으로 전하를 저장(축적). 일시적인 전지 역할을 함.
전지와의 비교: /// 축전기와 전지의 비교 - section mk

전지: 전위차(i.e. 기전력, 전압)를 일정하게 유지하는 목적, 내부 전기화학 반응이 존재
축전기: 전위차는 비유지(변화) (충전/방전 시), 내부 전기화학 반응이 없음

* 축전기에는 충전과 방전이 반복됨
* 충전되는 전하,electric_charge량은 두 금속판 사이에 걸린 전압,voltage에 비례하며, 이 때 비례상수가 전기용량,capacitance

Q ＝ C V

축전기에 전하를 담는 것을 원통에 물을 담는 것으로 비유할 때,

Q: 물의 양
C: 원통의 밑넓이
V: 물의 높이

로 비유한다.

....

충전,charge - pagename tbd. charging 으로 할까?
{
charge, charging
}
방전,discharge
{
discharge, discharging
}
...

축전기 충전 방전

RC회로,RC_circuit 와
RLC회로,RLC_circuit 에 축전기가 포함.

역할:
갑작스러운 전하/전압 변화를 억제
갑작스러운 전위차 전달을 제어/완충/지연
전하 및 전기퍼텐셜에너지,electric_potential_energy를 일시적으로 저장/축적

1. 여러 형태

1.1. 평행판축전기 parallel plate capacitor
1.2. 원통형 축전기, 동축 커패시터
1.3. 구형 축전기

2. 축전기의 연결

2.1. 직렬 연결
2.2. 병렬 연결

3. 축전기에 에너지 저장

4. 축전기에 저장된 전기에너지

4.1. 축전기에 저장된 에너지: 식 유도

5. DC와 AC에서 축전기

6. AC에서 축전기의 역할

7. 커패시터의 전압과 전류 관계

8. TOCLEANUP

[edit]

1. 여러 형태 ¶

[edit]

1.1. 평행판축전기 parallel plate capacitor ¶

평행판축전기의 전기용량 C:

$C=\varepsilon\frac{A}{d}$

여기서

ε: 유전율,permittivity
A: 극판의 면적
d: 극판 사이의 간격

i.e.

$C=\varepsilon\frac{A}{d}$

여기서

$\varepsilon$ : 유전율,permittivity
A : 평행판의 넓이
d : 판 사이의 거리

일단 무한한 평행판(면전하밀도,charge_density σ) 한 겹으로 만들어지는 전기장(E)은

$E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

이다. (유도 과정은 요약하자면 원통형 가우스면을 잡고

$\Phi=\int\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{\text{in}}}{\epsilon_0},\;EA+EA=\frac{\sigma A}{\epsilon_0},\;2E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$

이렇게). 이걸 두 개(면적 A) 가까이 떨어뜨려서(거리 d) 하나는 (+Q), 하나는 (-Q)로 대전하면 외부의 E는 상쇄되고(0) 내부는 두 배가 되어 평행판 사이 전기장은

$E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}=\frac{Q}{\epsilon_0 A}$

그러면

$V=Ed=\frac{Qd}{\epsilon_0A}$

전기용량,capacitance은

$C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{Qd/\epsilon_0A}=\frac{\epsilon_0A}{d}$

황종승: 전기용량과 유전체(1) 30m

유도? 유전체가 없을 때 즉 유전율이 진공의 유전율일 때, 그리고 극판이 $\pm q$ 로 대전되어 있을 때....

$\bullet\; q=\epsilon_0 EA$ (가우스_법칙,Gauss_s_law)
$\bullet\; V=Ed$
$\bullet\; \frac{q}{V}=\frac{\epsilon_0 EA}{Ed}=\frac{\epsilon_0 A}{d}=C$

따라서

$C=\frac{\epsilon_0A}{d}$

전기장,electric_field이 uniform하다고 가정..

$E=\frac{q}{\epsilon_0A}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$

WHY?

평행판축전기의 전기용량

$C=\frac{\epsilon_0A}{d}=\frac{A}{4\pi kd}$

증명:
전기장은

$E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}=\frac{Q}{\epsilon_0A}$

전위차는

$\Delta V=Ed=\frac{Qd}{\epsilon_0A}$
$Q=\frac{\epsilon_0A}{d}\Delta V$

여기서 $\frac{\epsilon_0A}{d}$ 을 전기용량 C로 정의.

$Q=C\Delta V$

유전체,dielectrics가 차 있는 평행판 축전기의 전기용량:

$C=\kappa\frac{\epsilon_0A}{d}=\kappa\frac{A}{4\pi kd}$

여기서

κ: 유전상수,dielectric_constant

(Richardson)

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1.2. 원통형 축전기, 동축 커패시터 ¶

안쪽 판 +Q, 바깥쪽 판 -Q로 대전, 원통 길이 ℓ

$E=\frac1{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda}{r}$
$\lambda=\frac{Q}{\ell}$

내부반지름 a, 외부반지름 b

$\Delta V=V_b-V_a=-\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=-\int_a^b Erdr=-\int_a^b\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\frac{dr}{r}$

이거 위에 Er이 E_r인가???? CHK

$=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\left({b\over a}\right)$

그러면 전기용량,capacitance은

$C=\frac{Q}{\Delta V}=2\pi\epsilon_0\frac{\ell}{\ln\frac{b}{a}}$

황종승 전기용량과 유전체(1) 34m

원통 중심에 +q전하, 바깥 원통에 -q전하, 원통 반지름 r, 원통 길이 L, 중심에서 내부극 외부표면까지가 a, 중심에서 외부극(판) 내부표면까지가 b (CHK)

$\bullet\; q=\epsilon_0 AE,\; A=2\pi rL$

$E=\frac{q}{\epsilon_0 A}=\frac{q}{2\pi\epsilon_0 Lr}$

$\bullet\; V=\int_-^+ E\cdot ds$

$=-\int_b^a\frac{q}{2\pi\epsilon_0 L}\frac{1}{r}$
$=\left.-\frac{q}{2\pi\epsilon_0 L}\ln r \right|_b^a$
$=\frac{q}{2\pi\epsilon_0 L}\ln\frac{b}{a}$

따라서,

$\bullet\; C=\frac{q}{V}=\frac{q}{\frac{q}{2\pi\epsilon_0L}\ln\frac{b}{a}}=\frac{2\pi\epsilon_0L}{\ln\frac{b}{a}}$

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1.3. 구형 축전기 ¶

내부판전하 +Q, 외부판전하 -Q, 내부반지름 a, 외부반지름, b

$C=\frac{4\pi\epsilon_0ab}{a-b}$

(황종승)

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2. 축전기의 연결 ¶

직렬 연결
1/C = 1/C₁ + 1/C₂ + …

병렬 연결
C = C₁ + C₂ + …

같은 용량을 갖는 축전기의 직렬 연결:
(용량) / n 으로 간단히 계산 가능.

똑같은 커패시터를 직렬/병렬로 연결할 때.

먼저 하나의 경우 다음과 같은데

$C=\epsilon\frac{S}{d}$

커패시터의 직렬 연결

극판 사이의 간격이 3배 늘어난 것으로 볼 수 있으므로

$C_s=\epsilon\frac{S}{3d}=\frac{C}{3}$

즉 같은 커패시터 $n$ 개를 직렬 연결했을 때

$C_s=\frac{C}{n}$

커패시터의 병렬 연결

$C_p=\epsilon\frac{3S}{d}=3C$

즉 같은 커패시터 $n$ 개를 병렬 연결했을 때

$C_p=nC$

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2.1. 직렬 연결 ¶

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2.2. 병렬 연결 ¶

V가 일정하다. (각 축전기에 걸리는 전압이 같다.)

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3. 축전기에 에너지 저장 ¶

전하를 채우는 데 해야 할 일,work W는 이동된 총 전하,electric_charge q와 평균 전위차 $\bar{V}$ 의 곱.

$W=q\bar{V}$

평균 전위차는 나중 전위차의 반.

$\bar{V}=\frac12V$

따라서 저장된 에너지,energy W는

$W=\frac12qV$

q=CV 이므로

$W=\frac12CV^2$

전기용량,capacitance의 식 $C=\frac{\kappa\epsilon_0A}{d}$ 를 대입하면

$W=\frac12\left(\frac{\kappa\epsilon_0A}{d}\right)(Ed)^2 = \frac{\kappa\epsilon_0AE^2d^2}{2d}$

이것을 (에너지를) 부피 Ad로 나누면 전기에너지밀도,electric_energy_density는

$u=\frac12\kappa\epsilon_0E^2$

ΔV의 전위차를 가지는 축전기에 dq를 대전시키기 위한 일?

$dW=\Delta V \cdot dq=\frac{q}{C}dq$

Q만큼 대전시키려면?

$W=\int dW=\int_0^Q \frac{q}{C} dq=\frac{Q^2}{2C}$

i.e.

$U=\frac{Q^2}{2C}$

여기에 $C=Q/\Delta V$ 넣으면

$U=\frac12 Q\Delta V$

여기에 $Q=C\Delta V$ 적용하면

$U=\frac12 C(\Delta V)^2$

이렇게 U를 세 가지로 나타낼 수 있음

$U=\frac12C(\Delta V)^2$

에서 평행판 축전기를 가정하면,

$=\frac12 \frac{\epsilon_0A}{d} (Ed)^2$
$=\frac12\epsilon_0E^2(Ad)$

에너지밀도는, (see 전기에너지밀도,electric_energy_density. 저 페이지에도 유도과정 있음)

$\frac{U}{V}=u=\frac12\epsilon_0 E^2$

(

황종승 전기용량과 유전체(2) 17m)

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4. 축전기에 저장된 전기에너지 ¶

$U=\frac12QV$

그리고 Q=CV, 따라서

$=\frac12\frac{Q^2}{C}=\frac12CV^2$

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4.1. 축전기에 저장된 에너지: 식 유도 ¶

전위차

$V=q/C$

이고, 작은 전하 $dq$ 가 전위 0의 음으로 대전된 도체에서 양으로 대전된 도체로 이동한다면 위치에너지는

$dU=Vdq=\frac{q}{C}dq$

만큼 증가하며, 전체 위치에너지 증가 U는

$U=\int dU = \int_{0}^{Q}\frac{q}{C}dq=\frac{Q^2}{2C}$

$Q=CV$ 를 쓰면

$U=\frac12QV=\frac12CV^2=\frac12\frac{Q^2}{C}$

다른 방법. 축전기에 걸리는 전력,power은

$p=vi$
$p=vC\frac{dv}{dt}$

축전기에 저장된 에너지는 전력(power)을 시간에 대해 적분한 것.

$U=\int pdt=\int vC\frac{dv}{dt}dt=C\int vdv$

적분 시작할 때 capacitor voltage는 0V였다고 가정하면

$U=\frac12 Cv^2$

(Khan Academy EE, Ideal elements and sources, Power and energy in a capacitor)

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5. DC와 AC에서 축전기 ¶

직류회로,DC_circuit에서는,

전류가 흐르지 못함, 즉 축전기가 매우 큰 저항 역할을 함

교류회로,AC_circuit에서는,

충전과 방전이 반복됨
용량성 리액턴스,reactance가 있음.

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6. AC에서 축전기의 역할 ¶

축전기가 교류의 흐름을 방해하는 정도: 용량리액턴스,capacitive_reactance

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7. 커패시터의 전압과 전류 관계 ¶

두 평판 사이에 전압이 가해지면 전압이 높은 쪽 평판에는 $+Q,$ 상대편 평판에는 $-Q$ 만큼의 전하가 축적되며, 축적된 전하량은 양단 전압 $v$ 에 비례하여 다음과 같이 주어진다.

$Q=Cv$

여기서 비례 상수 $C$ 를 전기용량,capacitance이라 하며 볼트 당 쿨롱으로서 단위가 패럿(F)이다.
커패시터 전압의 변동은 축적된 전하량을 변동시키며 전하의 변화가 곧 전류이다. 따라서 커패시터 전압과 전류 관계는 다음과 같다.

$i=\frac{dQ}{dt}=C\frac{dv}{dt}$

역으로 전압을 전류로 표현하면

$v(t)=\frac1C\int_{-\infty}^{t} i(\lambda) d\lambda$

(신윤기 회로이론 3e p106)

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8. TOCLEANUP ¶

전기장과의 관계

축전기에 저장된 에너지 =

$\frac12QV=\frac12CV^2=\frac12\frac{Q^2}{C}$

In terms of the 전기장,electric_field,

$\text{Energy = }\frac12\kappa\epsilon_0E^2\times\text{(Volume)}$
(에너지 = 에너지 밀도 × 부피)

Energy density of the electric field (에너지밀도) =

$\frac12\kappa\epsilon_0E^2$
진공이면 카파가 필요없다? CHK

$W=\int_0^Q\frac{q}{C}dq=\frac12\frac{Q^2}{C}=\frac12C(\Delta V)^2$
이 식은 어떤 형태의 축전기에 대해서도 성립

축전기 판 사이에 유전체,dielectric를 삽입하면

축전기 전위차는 감소.

$V=\frac{V_0}{\kappa}$

전기용량은 유전상수,dielectric_constant만큼 증가.

$C=\kappa C_0$
(C₀: 유전체가 없을 때(진공 중)의 전기용량,capacitance)

power and energy of a capacitor
전력,power:

$p(t)=v(t)i(t)$

$i=C\frac{dv}{dt}$ 이므로

$=Cv(t)\frac{dv(t)}{dt}$

에너지,energy:

$w_C(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{t} p(\tau)d\tau$
$=\int\nolimits_{-\infty}^{t} v(\tau)i(\tau)d\tau$
$=\int\nolimits_{-\infty}^{t} Cv(\tau)\frac{dv(\tau)}{d\tau}d\tau$
$=\int\nolimits_{v(-\infty)=0}^{v(t)}Cvdv$
$=\frac12 Cv^2(t)$

이것을 electric field energy라고 부른다고.

src:

중대 양원영 3강-수동소자 29분

AKA 커패시터, 캐패시터
Misc

콘덴서(condenser)라고 불리기도 함, 다만 콘덴서에는 다른 뜻도 있어서 좋은 번역은 아님

Compare:

저항기,resistor R, 유도기,inductor L

Up:

전자기학,electromagnetism
회로소자,circuit_element

Twins: