기호/표기: 복소수 $z$ 의 '''켤레복소수'''는
 $\bar{z}$ (주로 수학에서 쓰임)
 $z^{\ast}$ (주로 물리와 공학에서 쓰임)

복소수
 $z=a+bi \;\;\; (a,b\in\mathbb{R},\,i^2=-1)$
의 '''켤레복소수'''는
 $\bar{z}=a-bi$
즉 허수부의 [[부호,sign]]를 바꾼(반전시키는) 것.
i.e.
 $\bar{a+bi}=a-bi$

'''켤레복소수'''는 원래 복소수를 [[복소평면,complex_plane]]의 실수축에 대칭한 곳의 복소수.


= 성질 =
$\bar{\bar{z}}=z$

$|\bar{z}|=|z|$

$|z|^2=z\cdot\bar{z}$
 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$

$\bar{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}$

$\bar{z_1-z_2}=\bar{z_1}-\bar{z_2}$

$\bar{z_1z_2}=\bar{z_1}\bar{z_2}$

$\bar{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$

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$z,\bar{z}$ 에 대하여

$z+\bar{z}$ 는 실수
$z\bar{z}$ 는 실수
$z-\bar{z}$ 는 순허수

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복소수 $z=a+bi$ 일 때,

$\bar{z}=\bar{(a+bi)}=z^*=(a+bi)^*=a-bi$

$\Re(z)=\operatorname{Re}(z)=a=\frac{z+\bar{z}}2$ (실수부 real part)

$\Im(z)=\operatorname{Im}(z)=b=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ (허수부 imaginary part)

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar{z}}$
 $=\sqrt{z\cdot z^*}$
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실계수 다항식 $f(x)$ 에서 $a+bi$ 가 $f(x)=0$ 의 해이면 켤레 $a-bi$ 도 해가 됨

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from [[Namu:초월함수]] 켤레복소수 함수, CHK

$\bar{z}=z^*=\begin{cases}\frac{|z|^2}{z}&\text{ if }z\ne 0\\0&\text{ if }z=0\end{cases}$

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TBW:
conjugate_matrix
 특히 notation 확실히 정리

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Twins:
WpKo:켤레_복소수
https://mathworld.wolfram.com/ComplexConjugate.html
https://everything2.com/title/complex+conjugate
https://planetmath.org/complexconjugate

http://oeis.org/wiki/Complex_conjugates

Semi-twins:
https://en.citizendium.org/wiki/Complex_conjugation - 아마 complex_conjugate 를 구하는 행동([[연산,operation]])이 - 즉 imaginary_part 의 [[부호,sign]]를 reverse하는 행동이 - complex_conjugation ? CZ says so.

Up: [[켤레,conjugate]] [[복소수,complex_number]]

AKA '''conjugate complex number, 공액복소수, 복소켤레, 복소공액'''