$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$
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$a_i,b_i\in\mathbb{R}$
$\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{\frac12} \left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)^{\frac12} \ge \left| \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right|$
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[[벡터,vector]]로 나타내면
 $|\vec{x}| |\vec{y}| \ge |\vec{x} \cdot \vec{y}| $
등식이 될 필요충분조건은 두 벡터가 평행? CHK

$\mathbb{R}^n$ 의 임의의 벡터 $\vec{x},\vec{y}$ 에 대해 다음이 성립.
 $|\vec{x}\cdot\vec{y}|\le ||x||\, ||y||$
단, 등호는 $\vec{x},\vec{y}$ 중 하나가 다른 것의 실수배일 때만 성립.
## from BigBook-LinearAlgebra-2015 정리 1.2-2
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from 계승혁, 인문사회계를 위한 수학 2-03-1
http://snui.snu.ac.kr/ocw/index.php?mode=view&id=1180

$|\vec{A}\cdot\vec{B}|^2\le(\vec{A}\cdot\vec{A})(\vec{B}\cdot\vec{B})$
$|\vec{A}\cdot\vec{B}|\le ||\vec{A}|| \cdot ||\vec{B}|| $

pf.
$0 \le (tA+B)\cdot(tA+B)$
 $=t(A\cdot(tA+B))+B\cdot(tA+B)$
 $=t(A\cdot(tA)+A\cdot B)+B\cdot(tA)+B\cdot B$
 $=t^2(A\cdot A)+2t(A\cdot B)+B\cdot B$
$A\cdot A=0$ 인 경우, 부등식이 성립
$A\cdot A\ne0$ 인 경우, t에 대한 2차식인데 이게 항상 0 이상이므로, 판별식을 생각하면 부등식이 성립
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$\vec{F},\vec{G}$ 가 둘 다 영벡터가 아니면
 $\cos\theta=\frac{\vec{F}\cdot\vec{G}}{||\vec{F}|| \, ||\vec{G}||}$
그런데 $\forall\theta,\,|\cos\theta|\le 1$ 이므로 이것은 Cauchy-Schwarz 부등식을 암시한다.
 $|\vec{F}\cdot|\vec{G}|\le ||\vec{F}||\, ||\vec{G}||$
(O'Neil AEM (6.1))
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Up: [[부등식,inequality]]